Question

目前，“低碳”已成為保護地球環(huán)境的熱門話題，某高科技發(fā)展公司投資500萬元，成功研制出一種市場需求量較大的低碳高科技產(chǎn)品，再投入資金1500萬元作為固定投資．已知生產(chǎn)每件產(chǎn)品的成本是40元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)：當銷售單價定為100元時，年銷售量為20萬件；銷售單價每增加10元，年銷售量將減少1萬件，設銷售單價為x（元），年銷售量為y（萬件），年獲利為z（萬元）．（年獲利=年銷售額-生產(chǎn)成本-投資），
（1）試寫出z與x之間的函數(shù)關(guān)系式．
（2）請通過計算說明到第一年年底，當z取最大值時，銷銷售單價x應定為多少？此時公司是盈利了還是虧損了？
（3）若該公司計劃到第二年年底獲利不低于1130萬元，請借助函數(shù)的大致圖象說明第二年的銷售單價x（元）應確定在什么范圍？

Answer 1

解：（1）依題意知，當銷售單價定為x元時，年銷售量減少（x-100）萬件，
∴y=20-（x-100）=-x+30，
即y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是y=-x+30．
由題意得：
z=y（x-40）-500-1500
=（30-x）（x-40）-500-1500
=-x²+34x-3200，
即z與x之間的函數(shù)關(guān)系是z=-x²+34x-3200．

（2）∵z=-x²+34x-3200，
=（x-170）²-310．
∴當x=170時，z取最大值，為-310，
即當銷售單價為170元，年獲利最大，并且第一年年底公司還差310萬元就可收回全部投資．

（3）第二年的銷售單價定為x元時，年獲利為：
z=（30-x）（x-40）-310=-x²+34x-1510．
當z=1130時，即1130=-x²+34x-1510，
整理得x²-340x+26400=0，
解得：x₁=120，x₂=220．
函數(shù)z=-x²+34x-1510的圖象大致如圖所示，

由圖象可以看出：當120≤x≤220時，z≥1130．
故第二年的銷售單價應確定在不低于120元且不高于220元的范圍內(nèi)．
分析：（1）依題意當銷售單價定為x元時，年銷售量減少（x-100），則易求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，進而由題意易得Z與x之間的函數(shù)關(guān)系．
（2）把z與x的關(guān)系式化簡，得出當x=170時，z取最大值；即可得出公司是盈利了還是虧損；
（3）根據(jù)z=（30-x）（x-40）-310=-x²+34x-1510=1130進而得出當120≤x≤220時，z≥1130畫出圖象得出即可．
點評：本題主要考查了二次函數(shù)的應用和一元二次方程的解法以及二次函數(shù)圖象等知識，根據(jù)已知得出z與x之間的函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．