Question

觀察下列等式：

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，將以上三個(gè)等式兩邊分別相加得：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

=1-

1

4

=

3

4

（1）猜想并寫(xiě)出：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
（2）計(jì)算：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

．

Answer 1

分析：（1）觀察可得結(jié)果是分子均為1，分母分別為相鄰2個(gè)數(shù)的分?jǐn)?shù)的差；
（2）利用（1）得到的結(jié)果進(jìn)行計(jì)算即可．

解答：解：（1）

1

1×2

=

1

1

-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，
…

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
故答案為

1

n

-

1

n+1

；

（2）原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n+1-1

n+1

=

n

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：考查分?jǐn)?shù)的規(guī)律性計(jì)算；得到分子為1，分母為相鄰2個(gè)數(shù)的分?jǐn)?shù)的拆分方法是解決本題的關(guān)鍵．