Question

已知，等腰Rt△ABC中，點O是斜邊的中點，△MPN是直角三角形，固定△ABC，滑動△MPN，在滑動過程中始終保持點P在AC上，且PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分別為E、F．
（1）如圖1，當(dāng)點P與點O重合時，OE、OF的數(shù)量和位置關(guān)系分別是

 

．
（2）當(dāng)△MPN移動到圖2的位置時，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由．
（3）如圖3，等腰Rt△ABC的腰長為6，點P在AC的延長線上時，Rt△MPN的邊PM與AB的延長線交于點E，直線BC與直線NP交于點F，OE交BC于點H，且 EH：HO=2：5，則BE的長是多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意及圖示即可得出OE、OF的數(shù)量關(guān)系：相等，位置關(guān)系：垂直；
（2）根據(jù)題意及圖示可證明△OEB≌△OFC，故成立；
（3）根據(jù)題意及圖示，還有所給比例關(guān)系即可得出答案．

解答：解：（1）數(shù)量關(guān)系：相等，位置關(guān)系：垂直
故答案為相等且垂直．

（2）成立，理由如下：
∵△MPN是直角三角形，
∴∠MPN=90°．
連接OB，
∴∠OBE=∠C=45°，
∵△ABC，△MPN是直角三角形，PE⊥AB，PF⊥BC，
∴∠ABC=∠MPN=∠BEP=∠BFP=90°，
∴四邊形EBFP是矩形，
∴BE=PF
∵PF=CF，
∴BE=CF，
∵OB=OC=

1

2

AC，
∴在△OEB和△OFC中，

BE=CF ∠OBE=∠OCF OB=OC

∴△OEB≌△OFC（SAS），故成立，

（3）如圖，找BC的中點G，連接OG，
∵O是AC中點，
∴OG∥AB，OG=

1

2

AB，
∵AB=6，
∴OG=3，
∵OG∥AB，
∴△BHE∽△GOH，
∵EH：HO=2：5，
∴BE：OG=2：5，
而OG=

1

2

AB=3，
∴BE=

6

5

．

點評：本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的證明，比例關(guān)系等，難度較大．