Question

（本題滿分12分）
如圖，在△ACB中，∠ACB = 90°，AC = 4，BC = 2，點(diǎn)P為射線CA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為圓心，1為半徑作．
（1）連結(jié)，若，試判斷與直線AB的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）當(dāng)PC為              時(shí)，與直線AB相切？當(dāng)與直線AB相交時(shí)，寫出PC的取值范圍為                  ；
（3）當(dāng)與直線AB相交于點(diǎn)M、N時(shí)，是否存在△PMN為正三角形？若存在，求出PC的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）過點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，………………………1分
∵PA = PB，∴AD = BD，……………………………………2分
在Rt△ACB中，AC = 4，BC = 2，
∴AB = ，∴AD =，……………3分
∵tan∠CAB= ，∴AD =>1，……………4分
∴與直線AB相離；……………………………………5分
（2）4±，<PC<；……………………9分
（3）當(dāng)和線段AB相交時(shí)，過點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H，
∵△PMN為正三角形，即△PMN是邊長(zhǎng)為1的三角形；
∴，∵tan∠CAB= ，
∴PA=，∴PC=4－；
同理，當(dāng)交在BA的延長(zhǎng)線部分時(shí)，PC=4＋．………………12分

略