Question

如圖，已知△ABC中，∠BAC：∠ABC：∠ACB=4：2：1，AD是∠BAC的平分線．
求證：AD=AC-AB．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：在AC上截取AE=AB，連DE，設(shè)∠C=x，由∠BAC：∠ABC：∠ACB=4：2：1得到∠BAC=4x，∠B=2x，根據(jù)角平分線的定義可得∠3=∠4=2x，然后根據(jù)全等三角形的判定方法
可證得△ABD≌△AED，則∠B=∠1=2x，于是有∠1=∠4，根據(jù)等腰三角形的判定方法得DA=DE，再利用三角形外角性質(zhì)得∠1=∠2+∠C，而∠C=x，可得到∠2=∠C，
則ED=EC，于是有AC=AE+EC=AB+AD，變形即可得到結(jié)論．

解答：解：在AC上截取AE=AB，連DE，如圖，
設(shè)∠C=x，
∵∠BAC：∠ABC：∠ACB=4：2：1，
∴∠BAC=4x，∠B=2x，
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠3=∠4=2x，
∵在△ABD和△AED中，

AB=AE ∠3=∠4 AD=AD

，
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴∠B=∠1=2x，
∴∠1=∠4，
∴DA=DE，
∵∠1=∠2+∠C，∠C=x，
∴∠2=2x-x=x，即∠2=∠C，
∴ED=EC，
∴DA=EC，
∴AC=AE+EC=AB+AD，
即AD=AC-AB．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：有兩組邊對應相等，且它們所夾的角相等，那么這兩個三角形全等；全等三角形的對應角相等．也考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)．