Question

13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，點D（1，-4）是拋物線頂點，點P是直線BC下方的拋物線上一動點．

（1）這個二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x²-2x-3．
（2）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+m，則不等式x²+bx+c≥kx+m的解集為x＜0或＞3．
（3）連結(jié)PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C，那么是否存在點P，使四邊形POP′C為菱形？若存在，請求出此時點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（4）當(dāng)四邊形 ABPC的面積最大時，求出此時P點的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積．
（5）若把條件“點P是直線BC下方的拋物線上一動點．”改為“點P是拋物線上的任一動點．”，其它條件不變，當(dāng)以P、C、D、B為頂點的四邊形為梯形時，直接寫出點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）直接設(shè)成頂點式即可得出拋物線解析式；
（2）先確定出點B，C坐標(biāo)，再根據(jù)圖象直接寫出范圍；
（3）利用菱形的性質(zhì)得出PO=PC即可得出點P的縱坐標(biāo)，代入拋物線解析式即可得出結(jié)論；
（4）先利用坐標(biāo)系中幾何圖形的面積的計算方法建立函數(shù)關(guān)系式即可求出面積的最大值；
（5）先求出直線BC，BC，CD的解析式，分三種情況利用梯形的性質(zhì)，一組對邊平行即可得出直線DP1，CP2，BP3的解析式，分別聯(lián)立拋物線的解析式建立方程組求解即可．

解答 解：（1）∵點D（1，-4）是拋物線y=x²+bx+c的頂點，
∴y=（x-1）²-4=x²-2x-3，
故答案為y=x²-2x-3；

（2）令x=0，
∴y=-3，
∴C（0，-3），
令y=0，∴x²-2x-3=0，
∴x=-1或x=3，
∴A（-1，0），B（3，0）；
∴不等式x²+bx+c≥kx+m的解集為x＜0或＞3，
故答案為x＜0或＞3；

（3）如圖1，∵四邊形POP′C為菱形，
∴PO=PC，
∵C（0，-3），
∴點P的縱坐標(biāo)為-$\frac{3}{2}$，
∵P在拋物線y=x²-2x-3上，
∴-$\frac{3}{2}$=x²-2x-3，
∴x=$\frac{2+\sqrt{10}}{2}$或x=$\frac{2-\sqrt{10}}{2}$（舍），
∴P（$\frac{2+\sqrt{10}}{2}$．-$\frac{3}{2}$）；

（4）如圖2，由（1）知，B（3，0），C（0，-3），
∴直線BC的解析式為y=x-3，
過點P作PE∥y軸交BC于E，
設(shè)P（m，m²-2m-3），（0＜m＜3）
∴E（m，m-3），
∴PE=m-3-（m²-2m-3）=-m²+3m，
∵A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），
∴S_{四邊形ABPC}=S_△ABC+S_△PCE+S_△PBE
=$\frac{1}{2}$AB•OC+$\frac{1}{2}$PE•|x_P|+$\frac{1}{2}$PE•|x_B-x_P|
=$\frac{1}{2}$AB•OC+$\frac{1}{2}$PE（|x_P|+|x_B-x_P|）
=$\frac{1}{2}$×4×3+$\frac{1}{2}$（-m²+3m）×（m+3-m）
=6+$\frac{1}{2}$×（-m²+3m）
=-$\frac{1}{2}$（m²-3m）+6
=-$\frac{1}{2}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{57}{8}$，
當(dāng)m=$\frac{3}{2}$時，S_{四邊形ABPC最大}=$\frac{57}{8}$．

（5）如圖，由（1）知，B（3，0），C（0，-3），D（1，-4），
∴直線BC的解析式為y=x-3，直線BD的解析式為y=2x-6，直線CD的解析式為y=-x-3，
∵以P、C、D、B為頂點的四邊形為梯形，
∵拋物線的解析式為y=x²-2x-3①；
①當(dāng)DP₁∥BC時，
∴直線DP₁的解析式為y=x-5②，
聯(lián)立①②解得，點P₁（2，-3），[另一個點為（1，-4）和點D重合，舍去]
②當(dāng)CP₂∥BD時，∴直線CP₂的解析式為y=2x-3③，
聯(lián)立①③解得點P₂（4，5）
③當(dāng)BP₃∥CD時，∴直線BP₃∥CD的解析式為y=-x+3④，
聯(lián)立①④解得點P3（-2，5），
即：以P、C、D、B為頂點的四邊形為梯形時，點P的坐標(biāo)為（-2，5）、（2，-3）或（4，5）．

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式，不規(guī)則圖形的面積的計算方法，菱形的性質(zhì)，梯形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是用方程或方程組的思想解決問題．