【題目】已知二次函數(shù)y=mx2+nx+p圖象的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是2,與x軸交于A(x1,0)、B(x2,0),x1<0<x2,與y軸交于點(diǎn)C,O為坐標(biāo)原點(diǎn),tan∠CAO﹣tan∠CBO=1.

(1)求證:n+4m=0;

(2)求m、n的值;

(3)當(dāng)p>0且二次函數(shù)圖象與直線y=x+3僅有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),求二次函數(shù)的最大值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)m=,n=-1或m=-,n=1(3)4

【解析】

試題分析:(1)由題意可知拋物線的對(duì)稱軸為x=2,利用對(duì)稱軸公式x=,易證n+4m=0;

(2)本問(wèn)利用三角函數(shù)定義和拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)性質(zhì)求解.特別需要注意的是拋物線的開(kāi)口方向未定,所以所求m、n的值將有兩組,不能遺漏;

(3)本問(wèn)利用一元二次方程的判別式等于0求解.當(dāng)p>0時(shí),m、n的值隨之確定;將拋物線的解析式與直線的解析式聯(lián)立,得到一個(gè)一元二次方程;由交點(diǎn)唯一可知,此一元二次方程的判別式等于0,據(jù)此求出p的值,從而確定了拋物線的解析式;最后由拋物線的解析式確定其最大值.

試題解析:

(1)∵二次函數(shù)y=mx2+nx+p圖象的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是2,

∴拋物線的對(duì)稱軸為x=2,

=2,

化簡(jiǎn)得:n+4m=0.

(2)∵二次函數(shù)y=mx2+nx+p與x軸交于A(x1,0)、B(x2,0),x1<0<x2,

∴OA=﹣x1,OB=x2;

x1+x2=,x1x2=;

令x=0,得y=p,

∴C(0,p),

∴OC=|p|.

由三角函數(shù)定義得:tan∠CAO=,tan∠CBO=

∵tan∠CAO﹣tan∠CBO=1

,即,

化簡(jiǎn)得: =

將x1+x2=,x1x2=代入得:,

化簡(jiǎn)得:n==±1.

由(1)知n+4m=0,

∴當(dāng)n=1時(shí),m=-;當(dāng)n=﹣1時(shí),m=

∴m、n的值為:m=,n=﹣1(此時(shí)拋物線開(kāi)口向上)或m=-,n=1(此時(shí)拋物線開(kāi)口向下).

(3)解:由(2)知,當(dāng)p>0時(shí),n=1,m=-

∴拋物線解析式為:y=x2+x+p.

聯(lián)立拋物線y=x2+x+p與直線y=x+3解析式得到: x2+x+p=x+3,

化簡(jiǎn)得:x2﹣4(p﹣3)=0 ①.

∵二次函數(shù)圖象與直線y=x+3僅有一個(gè)交點(diǎn),

∴一元二次方程①的判別式等于0,

即△=02+16(p﹣3)=0,解得p=3.

∴拋物線解析式為:y=x2+x+p=y=x2+x+3=(x﹣2)2+4,

當(dāng)x=2時(shí),二次函數(shù)有最大值,最大值為4.

∴當(dāng)p>0且二次函數(shù)圖象與直線y=x+3僅有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),二次函數(shù)的最大值為4.

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