Question

（2013•鎮(zhèn)江）通過(guò)對(duì)蘇科版八（下）教材一道習(xí)題的探索研究，我們知道：一次函數(shù)y=x-1的圖象可以由正比例函數(shù)y=x的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到類(lèi)似的，函數(shù)y=

k

x+2

(k≠0)的圖象是由反比例函數(shù)y=

k

x

(k≠0)的圖象向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到．靈活運(yùn)用這一知識(shí)解決問(wèn)題．
如圖，已知反比例函數(shù)y=

4

x

的圖象C與正比例函數(shù)y=ax（a≠0）的圖象l相交于點(diǎn)A（2，2）和點(diǎn)B．
（1）寫(xiě)出點(diǎn)B的坐標(biāo)，并求a的值；
（2）將函數(shù)y=

4

x

的圖象和直線(xiàn)AB同時(shí)向右平移n（n＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象分別記為C′和l′，已知圖象C′經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，4）．
①求n的值；
②分別寫(xiě)出平移后的兩個(gè)圖象C′和l′對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
③直接寫(xiě)出不等式

4

x-1

≤ax-1的解集．

Answer 1

分析：（1）直接把A點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax即可求出a的值；利用反比例函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)的圖象的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)確定B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）①根據(jù)題意得到函數(shù)y=

4

x

的圖象向右平移n（n＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象C′的解析式為y=

4

x-n

，然后把M點(diǎn)坐標(biāo)代入即可得到n的值；
②根據(jù)題意易得圖象C′的解析式為y=

4

x-1

；圖象l′的解析式為y=x-1；
③不等式

4

x-1

≤ax-1可理解為比較y=

4

x-1

和y=x-1的函數(shù)值，由于y=

4

x-1

和y=x-1為函數(shù)y=

4

x

的圖象和直線(xiàn)AB同時(shí)向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象；而反比例函數(shù)y=

4

x

的圖象與正比例函數(shù)y=ax（a≠0）的圖象的交點(diǎn)為A（2，2）和B（-2，-2），所以平移后交點(diǎn)分別為（3，2）和B（-1，-2），則當(dāng)x＜-1或0＜x＜2時(shí)，函數(shù)y=

4

x-1

的圖象都在y=x-1的函數(shù)圖象上方．

解答：解：（1）把A（2，2）代入y=ax得2a=2，解得a=1；
∵反比例函數(shù)y=

4

x

的圖象與正比例函數(shù)y=x的圖象的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-2）；

（2）①函數(shù)y=

4

x

的圖象向右平移n（n＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象C′的解析式為y=

4

x-n

，
把M（2，4）代入得4=

4

2-n

，解得n=1；
②圖象C′的解析式為y=

4

x-1

；圖象l′的解析式為y=x-1；
③不等式

4

x-1

≤ax-1的解集是x≥3或-1≤x＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、會(huì)確定反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)以及待定系數(shù)法確定解析式；會(huì)運(yùn)用圖形的平移確定點(diǎn)的坐標(biāo)和同時(shí)提高閱讀理解能力．