Question

已知BC為⊙O直徑，D是直徑BC上一動點（不與點B，O，C重合），過點D作直線AH⊥BC交⊙O于A，H兩點，F(xiàn)是⊙O上一點（不與點B，C重合），且

AB

=

AF

，直線BF交直線AH于點E．
（1）如圖（a），當點D在線段BO上時，試判斷AE與BE的大小關系，并證明你的結論；
（2）當點D在線段OC上，且OD＞DC時，其它條件不變．
①請你在圖（b）中畫出符合要求的圖形，并參照圖（a）標記字母；
②判斷（1）中的結論是否還成立，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）AE=BE，可根據垂徑定理得出弧AB=弧BH，已知了弧AB=弧AF，因此弧BH=弧AF，根據圓周角定理可得出∠BAH=∠ABF根據等角對等邊即可得出AE=BE．（方法不唯一）
（2）結論不變，證法同（1），根據垂徑定理可得出弧AC=弧CH，因此弧AB=弧BH，由于弧AB=弧AF，因此弧AF=弧BH，即∠BAE=∠ABE，因此AE=BE．

解答：解：（1）AE=BE
證法①：
∵BC為⊙O直徑，AH⊥BC于點D
∴

AB

=

BH

又∵

AB

=

AF

∴

BH

=

AF

∴∠1=∠2
∴AE=BE．
證法②：
連AF，AC
∵BC是⊙O直徑，AH⊥BC于點D
∴∠BAC=∠ADB=90°
∴∠2+∠ABD=90°，∠ABD+∠C=90°
∴∠2=∠C
∵∠F=∠C
∴∠2=∠F
又∵

AB

=

AF

∴∠1=∠F
∴∠1=∠2
∴AE=BE．
證法③：
連接OA，交BF于點G
∵

AB

=

AF

∴OA⊥BF
又∵AD⊥BC
∴∠ADO=∠BGO
又∵∠AOB=∠AOB
∴△AOD∽△BOG
∴∠OBE=∠OAD
∵OA=OB
∴∠OAB=∠OBA
∴∠1=∠2
∴AE=BE

（2）①所畫圖形如右圖所示，AE=BE成立
證法①：
∵BC是⊙O直徑，AH⊥BC于點D
∴

AB

=

BH

又

AB

=

AF

∴

BH

=

AF

∴∠BAE=∠ABE
∴AE=BE．

證法②：
連接AC，AF
∵BC是⊙O直徑，BC⊥AD于點D
∴∠BAC=∠ADC=90°
∵

AB

=

BH

∴∠BAD=∠C
又∵

AB

=

AF

∴∠ABF=∠AFB
又∵∠C=∠AFB
∴∠ABF=∠BAE
∴BE=AE．
證法③：
連接AO并延長AO交BF于點G
∵

AB

=

AF

，AG過圓心
∴AG⊥BF
又∵AH⊥BC于點D
∴∠ADO=∠OGB=90°
又∵BC為⊙O直徑，∠2=∠3
∴∠GBO=∠DAO
又∵OA=OB
∴∠4=∠5
∴∠ABG=∠BAD
∴BE=AE．

點評：本題考查了垂徑定理、圓周角定理等知識．找出與所求邊相關的弧之間的關系是解題的關鍵．