Question

已知，BC∥OA，∠B=∠A=100°，試回答下列問題：
（1）如圖1所示，求證：OB∥AC；
（2）如圖2，若點E、F在BC上，且滿足∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF．試求∠EOC的度數；
（3）在（2）的條件下，若平行移動AC，如圖3，那么∠OCB：∠OFB的值是否隨之發(fā)生變化？若變化，試說明理由；若不變，求出這個比值；
（4）附加題：在（3）的條件下，如果平行移動AC的過程中，若使∠OEB=∠OCA，此時∠OCA度數等于______．（在橫線上填上答案即可）．

Answer 1

解：（1）∵BC∥OA，
∴∠B+∠O=180°；
∵∠A=∠B，
∴∠A+∠O=180°，
∴OB∥AC．

（2）∵∠A=∠B=100°，
由（1）得∠BOA=180°-∠B=80°；
∵∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF，
∴∠EOF=∠BOF∠FOC=∠FOA，
∴∠EOC=∠EOF+∠FOC=（∠BOF+∠FOA）=∠BOA=40°．

（3）結論：∠OCB：∠OFB的值不發(fā)生變化．理由為：
∵BC∥OA，
∴∠FCO=∠COA，
又∵∠FOC=∠AOC，
∴∠FOC=∠FCO，
∴∠OFB=∠FOC+∠FCO=2∠OCB，
∴∠OCB：∠OFB=1：2．

（4）由（1）知：OB∥AC，∴∠OCA=∠BOC，
由（2）可以設：∠BOE=∠EOF=α，∠FOC=∠COA=β，
∴∠OCA=∠BOC=2α+β
∠OEB=∠EOC+∠ECO=α+β+β=α+2β
∵∠OEB=∠OCA
∴2α+β=α+2β
∴α=β
∵∠AOB=80°，∴α=β=20°
∴∠OCA=2α+β=40°+20°=60°．
故答案是：60°．
分析：（1）由同旁內角互補，兩直線平行證明．
（2）由∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF得到∠EOC=∠EOF+∠FOCP=（∠BOF+∠FOA）=∠BOA，算出結果．
（3）先得出結論，再證明．
（4）由（2）（3）的結論可得．
點評：本題考查平移和平行線的性質的有關知識．平移的基本性質是：①平移不改變圖形的形狀和大��；②經過平移，對應點所連的線段平行且相等，對應線段平行且相等，對應角相等．