Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象上的任意一點(diǎn)，以P為圓心，PO為半徑的圓與x、y軸分別交于點(diǎn)A、B．

（1）判斷P是否在線段AB上，并說明理由；

（2）求△AOB的面積；

（3）Q是反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象上異于點(diǎn)P的另一點(diǎn)，請(qǐng)以Q為圓心，QO

        半徑畫圓與x、y軸分別交于點(diǎn)M、N，連接AN、MB．求證：AN∥MB．

 

Answer 1

解：（1）點(diǎn)P在線段AB上，理由如下：

        ∵點(diǎn)O在⊙P上，且∠AOB＝90°

∴AB是⊙P的直徑

∴點(diǎn)P在線段AB上．

（2）過點(diǎn)P作PP₁⊥x軸，PP₂⊥y軸，由題意可知PP₁、PP₂

是△AOB的中位線，故S_△AOB＝OA×OB＝×2 PP₁×PP₂

     ∵P是反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象上的任意一點(diǎn)

∴S_△AOB＝OA×OB＝×2 PP₁×2PP₂＝2 PP₁×PP₂＝12．

（3）如圖，連接MN，則MN過點(diǎn)Q，且S_△MON＝S_△AOB＝12．

∴OA·OB＝OM·ON

∴

∵∠AON＝∠MOB

∴△AON∽△MOB

∴∠OAN＝∠OMB

∴AN∥MB．