Question

如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)A，C分別在x軸和y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，3）．雙曲線y=

k

x

（x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)BC的中點(diǎn)D，且與AB交于點(diǎn)E，連接DE．
（1）求k的值及點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)F是OC邊上一點(diǎn)，且△FBC∽△DEB，求直線FB的解析式；
（3）若點(diǎn)P（x，y）在該反比例函數(shù)的圖象上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)D重合），過(guò)點(diǎn)P作PR⊥y軸于點(diǎn)R，作PQ⊥BC所在直線于點(diǎn)Q，記四邊形CQPR的面積為S，求S關(guān)于x的解析式并寫出x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）首先根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)和點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)表示出點(diǎn)D的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)的解析式求得k值，然后將點(diǎn)E的橫坐標(biāo)代入求得E點(diǎn)的縱坐標(biāo)即可；
（2）根據(jù)△FBC∽△DEB，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等確定點(diǎn)F的坐標(biāo)后即可求得直線FB的解析式；
（3）分兩步進(jìn)行解答，①當(dāng)P在直線BC的上方時(shí)，即0＜x＜1，如圖1，根據(jù)S_{四邊形CQPR}=CQ•PD列出S關(guān)于x的解析式，②當(dāng)P在直線BC的下方時(shí)，即x＞1，如圖2，依然根據(jù)S_{四邊形CQPR}=CQ•PD列出S關(guān)于x的解析式．

解答：解：（1）∵BC∥x軸，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，3），
∴BC=2，
∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，
∴CD=1，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，3），
代入雙曲線y=

k

x

（x＞0），得
k=1×3=3；
∵BA∥y軸，
∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)相等，即x=2，
∵點(diǎn)E在雙曲線上，
∴把x=2代入y=

3

x

，得到：y=

3

2

，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，

3

2

）；

（2）∵點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，

3

2

），B的坐標(biāo)為（2，3），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，3），
∴BD=1，BE=

3

2

，BC=2，
∵△FBC∽△DEB，
∴

CF

DB

=

BC

EB

，即

CF

1

=

2

3 2

，
∴CF=

4

3

，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，

5

3

），
設(shè)直線FB的解析式y(tǒng)=kx+b（k≠0），則

2k+b=3 b= 5 3

，
解得，

k= 2 3 b= 5 3

，
∴直線FB的解析式y(tǒng)=

2

3

x+

5

3

；

（3）當(dāng)P在直線BC的上方時(shí)，即0＜x＜1，
如圖1，∵點(diǎn)P（x，y）在該反比例函數(shù)的圖象上運(yùn)動(dòng)，
∵y=

3

x

，
∴S_{四邊形CQPR}=CQ•PD=x•（

3

x

-3）=3-3x（0＜x＜1），
如圖2，同理求出S_{四邊形CQPR}=CQ•CR=x•（3-

3

x

）=3x-3（x＞1），
綜上S=

3-3x(0＜x＜1) 3x-3(x＞1)

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，以及矩形的性質(zhì)，解題時(shí)注意點(diǎn)的坐標(biāo)與線段長(zhǎng)的相互轉(zhuǎn)化．解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)，解答（2）問(wèn)的函數(shù)解析式需要分段求，此題難度不大．