Question

如圖，⊙O₁和⊙O₂內(nèi)切于點A，⊙O₂的弦BC經(jīng)過⊙O₁上一點D，AB、AC分別交⊙O₁于E、F，AD平分∠BAC．
（1）求證：BC是⊙O₁的切線；
（2）若⊙O₁與⊙O₂的半徑之比等于2：3，BD=2

3

，DF=

10

，求AB和AD的長．

Answer 1

分析：（1）過點A作兩圓外切線PQ，作⊙O₁的直徑DK，連接KF，EF，首先證明由∠EFA=∠C證明EF∥BC，最終可證明∠FDC+∠KDF=90°；
（2）連接O₁O₂，則直線O₁O₂必過A點，作O₁M⊥AB，O₂N⊥AB，M，N為垂足，首先證明AE、BE、AB的等量關(guān)系，根據(jù)切線定理，即可算出BE、AB，最后計算出AD．

解答：（1）證明：過點A作兩圓外切線PQ，作⊙O₁的直徑DK，連接KF，EF，
則∠EFA=∠PAB，∠C=∠PAB．
∴∠EFA=∠C．
∴EF∥BC．
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，
∴∠FDC=∠EFD=∠BAD=∠CAD=∠DKF．
∵DK是⊙O₁的直徑，∴∠KDF+∠DKF=90°，∠FDC+∠KDF=90°．
∴DO₁⊥DC．
∴BC是⊙O₁的切線．

（2）解：連接O₁O₂，則直線O₁O₂必過A點，
作O₁M⊥AB，O₂N⊥AB，M，N為垂足，則O₁M∥O₂N，
且AM=

1

2

AE•AN=

1

2

AB，
∴

AE

AB

=

AM

AN

=

AO1

AO2

=

2

3

．
∴AE=2BE，AB=3BE．
∵BC切圓O₁于D，∴BD²=BE•BA=3BE²
∴BE²=4．
∵BE＞0，∴BE=2，∴AB=3BE=6
∵BD為⊙O₂的切線，∴∠ADB=∠AFD，
∴

AB

AD

=

BD

DF

=

6

AD

=

2 3

10

，
∴AD=

30

．

點評：本題考查了切線的判定，平行線分線段成比例等知識點．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．