Question

【題目】如圖1，AB⊥BC，分別過(guò)點(diǎn)A，C作BM的垂線(xiàn)，垂足分別為M，N．

（1）求證：BMBC＝ABCN；

（2）若AB＝BC．

①如圖2，若BM＝MN，過(guò)點(diǎn)A作AD∥BC交CM的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，求DN：CN的值；

②如圖3，若BM＞MN，延長(zhǎng)BN至點(diǎn)E，使BM＝ME，過(guò)點(diǎn)A作AF∥BC交CE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，若E是CF的中點(diǎn)，且CN＝1，直接寫(xiě)出線(xiàn)段AF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①DN：CN＝；②AF＝2﹣2

【解析】

（1）根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似證明即可．

（2）如圖2中，連接AN，延長(zhǎng)AN交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于H，作BK⊥AN于K．，設(shè)CN＝m，則BM＝CN＝MN＝m，BN＝AM＝2m，想辦法用m表示AN，NH即可解決問(wèn)題．

（3）如圖3中，連接AE，延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于H．△AFE≌△HCE（ASA），推出AE＝EH，AF＝CH，利用直角三角形斜邊中線(xiàn)的性質(zhì)求出AE，EH，再利用勾股定理求出BH即可解決問(wèn)題．

解：（1）證明：如圖1中，

∵AM⊥BN，CN⊥BN，AB⊥BC，

∴∠AMB＝∠N＝∠ABC＝90°，

∴∠A+∠ABM＝90°，∠ABM+∠CBN＝90°，

∴∠A+∠CBN＝90°，

∴△ABM∽△BCN，

∴，

∴BMBC＝ABCN．

（2）解：①如圖2中，連接AN，延長(zhǎng)AN交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于H，作BK⊥AN于K．

由（1）可知：△ABM∽△BCN，

∴

∵AB＝BC，

∴AM＝BN，BM＝CN，設(shè)CN＝m，

∵BM＝MN，

∴BM＝CN＝MN＝m，BN＝AM＝2m，

∵AM⊥BN，BM＝MN，

∴，

∵．

∴，

∴，

∵∠BAK＝∠BAH，∠ABH＝∠AKB＝90°，

∴△ABK∽△AHB，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵AD∥CH，

∴．

②如圖3中，連接AE，延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于H．

∵AF∥CH，

∴∠F＝∠ECH，

∵∠AEF＝∠CEH，EF＝CF，

∴△AFE≌△HCE（ASA），

∴AE＝EH，AF＝CH，

∵AM⊥BE，BM＝ME，

∴AB＝AE，

∵∠ABH＝90°，

∴BE＝AE＝EH，

∵CN＝BM＝ME＝1，

∴BE＝AE＝EH＝2，

∴AB＝BC＝AE＝2，

∴，

∴，

∴AF＝2﹣2．

故答案是：（1）見(jiàn)解析；（2）①DN：CN＝；②AF＝2﹣2