Question

（2013•楊浦區(qū)二模）如圖1，已知⊙O的半徑長為3，點(diǎn)A是⊙O上一定點(diǎn)，點(diǎn)P為⊙O上不同于點(diǎn)A的動(dòng)點(diǎn)．
（1）當(dāng)tanA=

1

2

時(shí)，求AP的長；
（2）如果⊙Q過點(diǎn)P、O，且點(diǎn)Q在直線AP上（如圖2），設(shè)AP=x，QP=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)tanA=

4

3

時(shí)（如圖3），存在⊙M與⊙O相內(nèi)切，同時(shí)與⊙Q相外切，且OM⊥OQ，試求⊙M的半徑的長．

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)P作PB⊥OA交AO的延長線于B，連接OP，設(shè)PB=a，根據(jù)∠A的正切值表示出AB=2a，再表示出OE=2a-3，在Rt△POB中，利用勾股定理列方程求出a，然后在Rt△ABP中，利用勾股定理列式計(jì)算即可求出AP；
（2）連接OP、OQ，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠P=∠POQ=∠A，求出△AOP和△PQO相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式整理即可得到y(tǒng)與x的關(guān)系式，根據(jù)直徑是圓的最長的弦寫出x的取值范圍；
（3）過點(diǎn)O作OC⊥AP于C，根據(jù)∠A的正切值，設(shè)OC=4b，則AC=3b，在Rt△AOC中，利用勾股定理列方程求出b，從而得到OC、AC，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得PC=AC，設(shè)⊙Q的半徑為c，然后表示出CQ，在Rt△COQ中，利用勾股定理列方程求出c，設(shè)⊙M的半徑為r，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系表示出MQ、MO然后利用勾股定理列方程求解即可得到r的值，從而得解．

解答：解：（1）如圖1，過點(diǎn)P作PB⊥OA交AO的延長線于B，連接OP，設(shè)PB=a，
∵tanA=

1

2

，
∴AB=2a，
∴OB=AB-OA=2a-3，
在Rt△POB中，PB²+OB²=OP²，
即a²+（2a-3）²=3²，
解得a₁=

12

5

，a₂=0（舍去），
∴AB=2×

12

5

=

24

5

，
在Rt△ABP中，AP=

PB2+AB2

=

( 12 5 )2+( 24 5 )2

=

12 5

5

；

（2）連接OP、OQ，則AO=PO，PQ=OQ，
∴∠P=∠A，∠POQ=∠P，
∴∠P=∠POQ=∠A，
∴△AOP∽△PQO，
∴

QP

OP

=

OP

AP

，
即

y

3

=

3

x

，
整理得，y=

9

x

，
∵⊙O的半徑為3，點(diǎn)P不同于點(diǎn)A，
∴0＜x≤6；
∴y=

9

x

（0＜x≤6）；

（3）過點(diǎn)O作OC⊥AP于C，
∵tanA=

4

3

，
∴設(shè)OC=4b，AC=3b，
在Rt△AOC中，OC²+AC²=OA²，
即（4b）²+（3b）²=3²，
解得b=

3

5

，
∴OC=4×

3

5

=

12

5

，AC=3×

3

5

=

9

5

，
根據(jù)垂徑定理，PC=AC=

9

5

，
設(shè)⊙Q的半徑為c，則CQ=QP-PC=c-

9

5

，
在Rt△COQ中，OC²+CQ²=OQ²，
即（

12

5

）²+（c-

9

5

）²=c²，
解得c=

5

2

，
設(shè)⊙M的半徑為r，
∵⊙M與⊙O相內(nèi)切，同時(shí)與⊙Q相外切，
∴MO=3-r，MQ=r+

5

2

，
在Rt△OMQ中，MO²+OQ²=MQ²，
即（3-r）²+（

5

2

）²=（r+

5

2

）²，
解得r=

9

11

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題型，主要利用了解直角三角形，勾股定理，同一個(gè)圓的半徑相等，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓與圓的位置關(guān)系，作輔助線構(gòu)造出直角三角形與相似三角形是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于反復(fù)利用勾股定理列出方程求解．