Question

【題目】如圖，在菱形中，，，，相交于點(diǎn)．

求邊的長(zhǎng)；

如圖，將一個(gè)足夠大的直角三角板角的頂點(diǎn)放在菱形的頂點(diǎn)處，繞點(diǎn)左右旋轉(zhuǎn)，其中三角板角的兩邊分別與邊，相交于點(diǎn)，，連接與相交于點(diǎn)．

①判斷是哪一種特殊三角形，并說明理由；

②旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)為邊的四等分點(diǎn)時(shí)，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①是等邊三角形；②．

【解析】

（1）由已知得△AOB為直角三角形，由此利用勾股定理能求出AB；

（2）①由已知得△ABC與△ACD均為等邊三角形，從而∠BAE＝∠CAF＝60°．由已知推導(dǎo)出△ABE≌△ACF，從而得到△AEF是等腰三角形，由∠EAF＝60°，能證明△AEF是等邊三角形；

②由已知推導(dǎo)出△ABE≌△ACF，從而CF＝BE＝32，∠EAC＝∠GFC，再推導(dǎo)出△CAE∽△CFG，能求出CG．

∵四邊形是菱形，

∴，

∴為直角三角形，且，．

在中，由勾股定理得：

．

①是等邊三角形．理由如下：

∵由知，菱形邊長(zhǎng)為，，

∴與均為等邊三角形，

∴，

又∵，

∴．

在與中，

∵，

∴，

∴，

∴是等腰三角形，

又∵，

∴是等邊三角形．

②，為四等分點(diǎn)，且，

∴，．

由①知，

∴．

∵（三角形內(nèi)角和定理），

（等邊三角形內(nèi)角），

（對(duì)頂角）

∴．

在與中，

∵，

∴，

∴，即，

解得：．