【題目】如圖,點A是x軸非負半軸上的動點,點B坐標為(0,4),M是線段AB的中點,將點M繞點A順時針方向旋轉90°得到點C,過點C作x軸的垂線,垂足為F,過點B作y軸的垂線與直線CF相交于點E,連接AC,BC,設點A的橫坐標為t.

(Ⅰ)當t=2時,求點M的坐標;

(Ⅱ)設ABCE的面積為S,當點C在線段EF上時,求S與t之間的函數(shù)關系式,并寫出自變量t的取值范圍;

(Ⅲ)當t為何值時,BC+CA取得最小值.

【答案】(1)(1,2);(2)S=t+8(0≤t≤8);(3)當t=0時,BC+AC有最小值

【解析】試題分析:(IMMGOFG,分別求OGMG的長即可;

II)如圖1,同理可求得AGOG的長,證明△AMG≌△CAFAG=CF=t,AF=MG=2分別表示ECBE的長,代入面積公式可求得St的關系式并求其t的取值范圍;

III)證明△ABO∽△CAF,根據(jù)勾股定理表示ACBC的長,計算其和,根據(jù)二次根式的意義得出當t=0,值最。

試題解析:(I)如圖1,MMGOFG,MGOBt=2,OA=2MAB的中點,GAO的中點,OG=OA=1,MG是△AOB的中位線MG=OB=×4=2,M1,2);

II)如圖1同理得OG=AG=t∵∠BAC=90°,∴∠BAO+∠CAF=90°.∵∠CAF+∠ACF=90°,∴∠BAO=ACF∵∠MGA=AFC=90°,MA=AC,∴△AMG≌△CAFAG=CF=t,AF=MG=2EC=4t,BE=OF=t+2,SBCE=ECBE=4t)(t+2)=﹣t2+t+4;

SABC=ABAC==t2+4,S=SBEC+SABC=t+8

AO重合,CF重合如圖2,此時t=0,CE重合時如圖3,AG=EF, t=4,t=8,St之間的函數(shù)關系式為S=t+80t8);

III)如圖1,易得△ABO∽△CAF===2,AF=2CF=t,由勾股定理得AC===BC===,BC+AC=( +1,∴當t=0BC+AC有最小值.

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某校學生最喜愛的球類運動統(tǒng)計表

最喜愛的球類運動

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24

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24

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某校學生最喜愛的球類運動統(tǒng)計圖

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