Question

 在直角坐標(biāo)系xOy中，已知某二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A（－4，0）、B（0，－3），與x軸的正半軸相交于點(diǎn)C，若△AOB∽△BOC（相似比不為1）．

1.（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

2.（2）求△ABC的外接圓半徑r；

3.（3）在線段AC上是否存在點(diǎn)M（m，0），使得以線段BM為直徑的圓與線段AB交于N點(diǎn)，且以點(diǎn)O、A、N為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

 

1.⑴∵△AOB∽△BOC（相似比不為1），

∴. 又∵OA=4,OB=3,

∴OC=3²×=.∴點(diǎn)C(,0).                          …………………1分

設(shè)圖象經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的函數(shù)解析式是y=ax²+bx+c,

則c= -3，且                        …………………2分

即

解得,a=, b=.

∴這個(gè)函數(shù)的解析式是y =x²+x-3. 

2.⑵∵△AOB∽△BOC（相似比不為1），

  ∴∠BAO=∠CBO.

  又∵∠ABO+ ∠BAO =90°，

  ∴∠ABC=∠ABO+∠CBO=∠ABO+∠BAO=90°.              ………………4分

  ∴AC是△ABC外接圓的直徑.

  ∴ r =AC=×[-(-4)]=.

3.⑶∵點(diǎn)N在以BM為直徑的圓上，

  ∴ ∠MNB=90°.                                     ……………………6分

①.當(dāng)AN=ON時(shí)，點(diǎn)N在OA的中垂線上，

        ∴點(diǎn)N₁是AB的中點(diǎn)，M₁是AC的中點(diǎn).

        ∴AM₁= r=，點(diǎn)M₁(-, 0)，即m₁=-.              ………………7分

②. 當(dāng)AN=OA時(shí)，Rt△AM₂N₂≌Rt△ABO，

   ∴AM₂=AB=5，點(diǎn)M₂(1, 0)，即m₂=1.

③. 當(dāng)ON=OA時(shí)，點(diǎn)N顯然不能在線段AB上.

綜上，符合題意的點(diǎn)M（m，0）存在，有兩解：

m= -，或1.    

解析:略