Question

（1）證明：由2009個1和任意個0組成的自然數(shù)不是完全平方數(shù)；
（2）試說明，存在最左邊2009位都是1的形如

.

11…11 2009個1 *…**

的自然數(shù)（其中*代表阿拉伯數(shù)碼）是完全平方數(shù)．

Answer 1

分析：（1）分0的個數(shù)為偶數(shù)個和奇數(shù)個進行討論，當0為偶數(shù)個時，只考慮2009個1組成的數(shù)是否是完全平方數(shù)；當0為奇數(shù)個時，只考慮2009個1和1個0組成的數(shù)是否是完全平方數(shù)；由此解決問題；
（2）因為1010²=11110，101010²=1111110，…，11…11_{（2009個1）}****=11…11_{（2008個1）}0…0+1****=（1010…10+k）²（1004個10），再討論2020…20k+k²=1****即可解答．

解答：解：（1）當數(shù)的末尾有偶數(shù)個0時，只討論2009個1組成的數(shù)位完全平方數(shù)即可，
設為（10a+1）²=100a²+20a+1=20a（5a+1）+1，
或（10a+9）²=100a²+180a+81=20（5a+9a+4）+1，
由以上可知其十位數(shù)一定是偶數(shù)，因此2009個1組成的數(shù)不是完全平方數(shù)；
當數(shù)的末尾有奇數(shù)個0時，只討論2009個1和1個0組成的數(shù)即可，
設為10k²，可其末尾至少有兩個0，因此2009個1和1個0組成的數(shù)不是完全平方數(shù)；
綜上所知，由2009個1和任意個0組成的自然數(shù)不是完全平方數(shù)；
（2）因為1010²=11110，101010²=1111110，…，
設11…11_{（2009個1）}****=11…11_{（2008個1）}0…0+1****=（1010…10+k）²（1004個10），
而2020…20k+k²=1****一定存在一個數(shù)k，例如k=5，可以使其成為完全平方數(shù)．

點評：此題主要考查完全平方數(shù)的特點：一個數(shù)的平方末尾只能是0、1、4、5、6、9，由此分析解決問題．