Question

已知，在平行四邊形OABC中，OA=5，AB=4，∠OCA=90°，動(dòng)點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)沿射線OA方向以每秒2個(gè)單位的速度移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)沿射線AB方向以每秒1個(gè)單位的速度移動(dòng)．設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）求直線AC的解析式；
（2）試求出當(dāng)t為何值時(shí)，△OAC與△PAQ相似？
（3）若⊙P的半徑為

8

5

，⊙Q的半徑為

3

2

；當(dāng)⊙P與對(duì)角線AC相切時(shí)，判斷⊙Q與直線AC、BC的位置關(guān)系，并求出Q點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）過C點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為D點(diǎn)，由已知條件利用勾股定理求AC，利用面積法求CD，利用勾股定理求OD，確定C點(diǎn)坐標(biāo)，從而求直線AC的解析式；
（2）根據(jù)P點(diǎn)是否在線段OA上分類：當(dāng)0≤t≤2.5時(shí)，和當(dāng)t＞2.5時(shí)，判斷相似是否成立，利用相似比求符合條件的t的值；
（3）可判斷⊙Q與直線AC、BC均相切．當(dāng)⊙P的半徑為

8

5

時(shí)，利用相似比求PA，得出OP的長(zhǎng)和P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間，Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間與P點(diǎn)相同，可判斷QA的長(zhǎng)是否等于⊙Q的半徑，并求出Q點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）過C點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為D點(diǎn)，在平行四邊形OABC中，由OA=5，AB=4，∠OCA=90°，得AC=3，
由面積法，得CD×OA=OC×AC，解得CD=

4×3

5

=

12

5

，
在Rt△OCD中，由勾股定理得OD=

OC2-CD2

=

16

5

，
∴C（

16

5

，

12

5

），
又∵A（5，0），
∴直線AC解析式為：y=-

4

3

x+

20

3

；

（2）當(dāng)0≤t≤2.5時(shí)，P在OA上，若∠OAQ=90°時(shí)，
故此時(shí)△OAC與△PAQ不可能相似．
當(dāng)t＞2.5時(shí)，
①若∠APQ=90°，則△APQ∽△OAC，
故

AQ

AP

=

OC

OA

=

4

5

，
∴

2t-5

t

=

4

5

，
∴t=

25

6

，
∵t＞2.5，
∴t=

25

6

符合條件．
②若∠AQP=90°，則△APQ∽△OAC，
故

AQ

AP

=

OC

OA

=

4

5

，
∴

t

2t-5

=

4

5

，
∴t=

20

3

，
∵t＞2.5，
∴t=

20

3

符合條件．
綜上可知，當(dāng)t=

25

6

或

20

3

時(shí)，△OAC與△APQ相似．

（3）⊙Q與直線AC、BC均相切．
如圖，設(shè)⊙P與AC相切于點(diǎn)M，則PM∥OC，
∴

PM

OC

=

PA

OA

，即

8

5

×5=PA×4，
解得PA=2，OP=5-2=3，
P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為3÷2=

3

2

秒，
故Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

3

2

秒，此時(shí)AQ=

3

2

，
BQ=4-

3

2

=

5

2

，
過Q點(diǎn)作QN⊥BC，垂足為N，則△BQN∽△BCA，

QN

QB

=

AC

BC

，即

QN

5 2

=

3

5

，
解得QN=

3

2

，
則AQ=QN，
∵AC⊥AB，
∴⊙Q與直線AC、BC均相切．
此時(shí)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（

31

5

，

9

10

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是利用勾股定理，面積法，相似三角形的性質(zhì)解題．