Question

如圖，C是以AB為直徑的⊙O上一點，AD和過點C的切線互相垂直，垂足為點D．過點O作線段AC的垂線段OE，垂足為點E，
（1）求證：AC平分∠BAD；
（2）若CD=4，AC=4，求垂線段OE的長．

Answer 1

（1）證明：連接OC．
∵CD切⊙O于點C，
∴OC⊥CD．
又∵AD⊥CD，
∴OC∥AD．
∴∠OCA=∠DAC（兩直線平行，內錯角相等）．
∵OC=OA（⊙O的半徑），
∴∠OCA=∠OAC（等邊對等角）．
∴∠OAC=∠DAC（等量代換）．
∴AC平分∠DAB．

（2）解：在Rt△ACD中，CD=4，AC=4，則由勾股定理得，
AD==8．
∵OE⊥AC，
∴AE=CE=AC=2．
∵∠OAE=∠CAD，∠AEO=∠ADC，
∴△AEO∽△ADC，
∴=．
∴OE===．即垂線段OE的長為．
分析：（1）連接OC．根據切線性質可證OC∥AD；然后根據等腰三角形性質、平行線的性質可證AC平分∠DAB；
（2）證明△AEO與△ADC相似，得比例線段求解．
點評：本題考查了圓的切線性質，相似三角形的判定與性質及勾股定理等知識．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．