Question

如圖9, 已知拋物線與軸交于A (－4，0) 和B(1，0)兩點，與軸交于C（0，-2）點．

1.求此拋物線的解析式；

2.設(shè)G是線段BC上的動點，作GH//AC交AB于H，連接CF，當△BGH的面積是△CGH面積的3倍時，求H點的坐標;

3.若M為拋物線上A、C兩點間的一個動點，過M作軸的平行線，交AC于N，當M點運動到什么位置時，線段MN的值最大，并求此時M點的坐標

 

Answer 1

 

1.設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a(x－x₁)(x－x₂)

∵二次函數(shù)與軸交于、兩點可得：

　　　　　　∴x₁=－4    x₂=1……………………………………………….1分

           ∴y=a(x+4)(x－1)

           把C（0，-2）代入y=a(x+4)(x－1)得：a=

　　　　　　故所求二次函數(shù)的解析式為y= (x+4)(x－1)

=x²+x－2．

2.∵S_△BGH =2 S_△CGH

……………………………………………4分

            ∵GH//AC, ,

          ∴△BGH～△BAC,

 ……………6分

故E點的坐標為(，0).    ………………………….7分

3.若設(shè)直線的解析式為

∵ A、兩點的坐標分別為（－4,0）、（0，－2）．

則有　解得：  

故直線的解析式為．……………………8分       

若設(shè)M點的坐標為，又N點是過點M所作軸的平行線與直線的交點，則N點的坐標為（．則有：

　　　　　　　MN=＝

＝……………………………………….9分

即當時，線段MN取大值，此時M點的坐標為（－2，－3）…………10分

解析:（1）將A、B的坐標代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數(shù)的值；

（2）根據(jù)拋物線的解析式可得出C點的坐標，易證得△ABC是直角三角形，則EF⊥BC；△CEF和△BEF同高，則面積比等于底邊比，由此可得出CF=2BF；易證得△BEF∽△BAC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求得BE、AB的比例關(guān)系，由此可求出E點坐標；

（3）PQ的長實際是直線AC與拋物線的函數(shù)值的差，可設(shè)P點橫坐標為m，用m表示出P、Q的縱坐標，然后可得出PQ的長與m的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求出PQ最大時，m的值，也就能求出此時P點的坐標．