Question

（本題10分）如圖，⊙O的直徑AB=4，點(diǎn)P是AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的切線，切點(diǎn)為C，連結(jié)AC．
（1）若∠CPA=30°，求PC的長(zhǎng)；
（2）若點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，∠CPA的平分線交AC于點(diǎn)M．你認(rèn)為∠CMP的大小是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變化，請(qǐng)求出∠CMP的值．

Answer 1

（1）PC= (4分);   （2）不變化，∠CMP="45°" (6分)

分析：
（1）作輔助線，連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)知：OC⊥PC，由∠CPO的值和OC的長(zhǎng)，可將PC的長(zhǎng)求出；
（2）通過(guò)角之間的轉(zhuǎn)化，可知：∠CMP=1/2（∠COP+∠CPO），故∠CMP的值不發(fā)生變化。
解答：
（1）連接OC，

∵AB=4，∴OC=2
∵PC為⊙O的切線，∠CPO=30°
∴PC="OC/" tan30°=2//3=2。
（2）∠CMP的大小沒(méi)有變化．
理由如下：∵∠CMP=∠A+∠MPA（三角形外角定理），∠A=1/2∠COP（同弧所對(duì)的圓周角是所對(duì)的圓心角的一半），
∠MPA=1/2∠CPO（角平分線的性質(zhì)），
∴∠CMP=∠A+∠MPA=1/2∠COP+1/2∠CPO=1/2（∠COP+∠CPO）=1/2×90°=45°。
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查切線的性質(zhì)及對(duì)直角三角形性質(zhì)的運(yùn)用。