精英家教網(wǎng)拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A、B兩點,交y軸于點C,已知拋物線的對稱軸為x=1,B(3,0),C(0,-3),
(1)求二次函數(shù)y=ax2+bx+c的解析式;
(2)在拋物線對稱軸上是否存在一點P,使點P到B、C兩點距離之差最大?若存在,求出P點坐標;若不存在,請說明理由;
(3)平行于x軸的一條直線交拋物線于M、N兩點,若以MN為直徑的圓恰好與x軸相切,求此圓的半徑.
分析:(1)根據(jù)拋物線過C點,可得出c=-3,對稱軸x=1,則-
b
2a
=1,然后可將B點坐標代入拋物線的解析式中,聯(lián)立由對稱軸得出的關(guān)系式即可求出拋物線的解析式.
(2)本題的關(guān)鍵是要確定P點的位置,由于A、B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,因此可連接AC,那么P點就是直線AC與對稱軸的交點.可根據(jù)A、C的坐標求出AC所在直線的解析式,進而可根據(jù)拋物線對稱軸的解析式求出P點的坐標.
(3)根據(jù)圓和拋物線的對稱性可知:圓心必在對稱軸上.因此可用半徑r表示出M、N的坐標,然后代入拋物線中即可求出r的值.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)將C(0,-3)代入y=ax2+bx+c,
得c=-3.
將c=-3,B(3,0)代入y=ax2+bx+c,
得9a+3b+c=0.(1)
∵直線x=1是對稱軸,
-
b
2a
=1
.(2)(2分)
將(2)代入(1)得
a=1,b=-2.
所以,二次函數(shù)得解析式是y=x2-2x-3.

(2)AC與對稱軸的交點P即為到B、C的距離之差最大的點.
∵C點的坐標為(0,-3),A點的坐標為(-1,0),
∴直線AC的解析式是y=-3x-3,
又∵直線x=1是對稱軸,
∴點P的坐標(1,-6).

(3)設M(x1,y)、N(x2,y),所求圓的半徑為r,
則x2-x1=2r,(1)
∵對稱軸為直線x=1,即
x1+x2
2
=1,
∴x2+x1=2.(2)
由(1)、(2)得:x2=r+1.(3)
將N(r+1,y)代入解析式y(tǒng)=x2-2x-3,
得y=(r+1)2-2(r+1)-3.
整理得:y=r2-4.
由所求圓與x軸相切,得到r=|y|,即r=±y,
當y>0時,r2-r-4=0,
解得,r1=
1+
17
2
,r2=
1-
17
2
(舍去),
當y<0時,r2+r-4=0,
解得,r1=
-1+
17
2
,r2=
-1-
17
2
(舍去).
所以圓的半徑是
1+
17
2
-1+
17
2
點評:本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、切線的性質(zhì)、軸對稱圖形等知識點,綜合性強,考查學生分類討論,數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法.
練習冊系列答案
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已知點(2,8)在拋物線y=ax2上,則a的值為( 。
A、±2
B、±2
2
C、2
D、-2

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如圖,在平面直角坐標系中,以A(3,0)為圓心,以5為半徑的圓與x軸相交于B、C,與y軸的負半軸相交于D.
(1)若拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過B、C、D三點,求此拋物線的解析式,并寫出拋物線與圓A的另一個交點E的坐標;
(2)若動直線MN(MN∥x軸)從點D開始,以每秒1個長度單位的速度沿y軸的正方向移動,且與線段CD、y軸分別交于M、N兩點,動點P同時從點C出發(fā),在線段OC上以每秒2個長度單位的速度向原點O運動,連接PM,設運動時間為t秒,當t為何值時,
MN•OPMN+OP
的值最大,并求出最大值;
(3)在(2)的條件下,若以P、C、M為頂點的三角形與△OCD相似,求實數(shù)t的值.精英家教網(wǎng)

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

若(2,0)、(4,0)是拋物線y=ax2+bx+c上的兩個點,則它的對稱軸是直線( 。
A、x=0B、x=1C、x=2D、x=3

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如圖,在直角坐標平面內(nèi),O為原點,拋物線y=ax2+bx經(jīng)過點A(6,0),且頂點B(m,6)在直線y=2x上.
(1)求m的值和拋物線y=ax2+bx的解析式;
(2)如在線段OB上有一點C,滿足OC=2CB,在x軸上有一點D(10,0),連接DC,且直線DC與y軸交于點E.
①求直線DC的解析式;
②如點M是直線DC上的一個動點,在x軸上方的平面內(nèi)有另一點N,且以O、E、M、N為頂點的四邊形是菱形,請求出點N的坐標.(直接寫出結(jié)果,不需要過程.)
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(2012•陜西)如果一條拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸有兩個交點,那么以該拋物線的頂點和這兩個交點為頂點的三角形稱為這條拋物線的“拋物線三角形”.
(1)“拋物線三角形”一定是
等腰
等腰
三角形;
(2)若拋物線y=-x2+bx(b>0)的“拋物線三角形”是等腰直角三角形,求b的值;
(3)如圖,△OAB是拋物線y=-x2+b′x(b′>0)的“拋物線三角形”,是否存在以原點O為對稱中心的矩形ABCD?若存在,求出過O、C、D三點的拋物線的表達式;若不存在,說明理由.

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