Question

如圖，正方形ABCD的邊AD與矩形EFGH的邊FG重合，將正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移動，移動開始前點A與點F重合，在移動過程中，邊AD始終與邊FG重合，連接CG，過點A作CG的平行線交線段GH于點P，連接PD．已知正方形ABCD的邊長為1cm，矩形EFGH的邊FG，GH的長分別為4cm，3cm，設(shè)正方形移動時間為x（s），線段GP的長為y（cm），其中0≤x≤2.5．
（1）試求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求當y=3時相應(yīng)x的值；
（2）記△DGP的面積為S₁，△CDG的面積為S₂．試說明S₁-S₂是常數(shù)；
（3）當線段PD所在直線與正方形ABCD的對角線AC垂直時，求線段PD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意表示出AG、GD的長度，再由△GCD∽△APG，利用對應(yīng)邊成比例可解出x的值．
（2）利用（1）得出的y與x的關(guān)系式表示出S₁、S₂，然后作差即可．
（3）延長PD交AC于點Q，然后判斷△DGP是等腰直角三角形，從而結(jié)合x的范圍得出x的值，在Rt△DGP中，解直角三角形可得出PD的長度．
解答：解：（1）∵CG∥AP，
∴∠CGD=∠GAP，
又∵∠CDG=∠AGP，
∴△GCD∽△APG，
∴=，
∵GF=4，CD=DA=1，AF=x，
∴GD=3-x，AG=4-x，
∴=，即y=，
∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=，
當y=3時，=3，解得x=2.5，
經(jīng)檢驗的x=2.5是分式方程的根．
故x的值為2.5；

（2）∵S₁=GP•GD=••（3-x）=（cm²），
S₂=GD•CD=（3-x）×1=（cm²），
∴S₁-S₂=-=（cm²），即為常數(shù)；

（3）延長PD交AC于點Q．
∵正方形ABCD中，AC為對角線，
∴∠CAD=45°，
∵PQ⊥AC，
∴∠ADQ=45°，
∴∠GDP=∠ADQ=45°．
∴△DGP是等腰直角三角形，則GD=GP，
∴3-x=，
化簡得：x²-5x+5=0．
解得：x=，
∵0≤x≤2.5，
∴x=，
在Rt△DGP中，PD==（3-x）=（cm）．
點評：此題考查了正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及解直角三角形的知識，解答本題的關(guān)鍵是用移動的時間表示出有關(guān)線段的長度，然后運用所學知識進行求解．