Question

如圖，已知BC是⊙O的直徑，AH⊥BC，垂足為D，點A為弧EF的中點，BF交AD于點E，且BE·EF=32，AD=6.
 
（1）求證：AE=BE；
（2）求DE的長；
（3）求BD的長 .

Answer 1

（1）連AF，由A為的中點可得∠ABE=∠AFB，再根據(jù)圓周角定理可得∠AFB=∠ACB，即得∠ABE=∠ACB，由BC為直徑可得∠BAC=90°，AH⊥BC，即可證得結(jié)論；（2）2；（3）

解析試題分析：（1）連AF，由A為的中點可得∠ABE=∠AFB，再根據(jù)圓周角定理可得∠AFB=∠ACB，即得∠ABE=∠ACB，由BC為直徑可得∠BAC=90°，AH⊥BC，即可證得結(jié)論；
（2）設(shè)DE=x（x＞0），由AD=6，BE•EF=32，AE•EH=BE•EF，可列式為（6-x）（6+x）=32，由此求解；
（3）由（1）、（2）有：BE=AE=6-2=4，根據(jù)Rt△BDE中的勾股定理求解．
（1）連AF，

∵A為的中點，
∴∠ABE=∠AFB，
又∠AFB=∠ACB，
∴∠ABE=∠ACB .
∵ BC為直徑，
∴∠BAC=90°，AH⊥BC，
∴∠BAE=∠ACB，
∴∠ABE=∠BAE，
∴ AE=BE；
（2）設(shè)DE=x（x>0），由AD=6，BE·EF=32，AE·EH=BE·EF，
有(6-x)(6+x)=32，由此解得x=2， 即DE的長為2；
（3）由（1）、（2）有：BE=AE=6-2=4，
在RtΔBDE中，BD==.
考點：相交弦定理，勾股定理，垂徑定理，圓周角定理
點評：圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，均等于所對圓心角的一半.