Question

如圖△ABC中M為BC的中點(diǎn)，N為AM上一點(diǎn)，過N作直線PQ分別交線段AB、AC于P、Q．
（1）當(dāng)PQ∥BC時，求證：PN=NQ；
（2）當(dāng)PQ與BC不平行時，

PB

PA

+

QC

QA

=

 

MN

NA

．填空并證明．

Answer 1

分析：（1）由平行，可證得，△APN∽△ABM，則

PN

BM

=

AN

AM

，同理

QN

CM

=

AN

AM

，從而得出PN=NQ；
（2）分別過B，C兩點(diǎn)作AM的平行線交直線于D，F(xiàn)，根據(jù)平行線段分線段成比例可證

PB

PA

=

BD

NA

，

QC

QA

=

EC

NA

，再證NM為梯形BDEC的中位線，根據(jù)梯形的中位線原理可知BD+EC=2MN，從而得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵PQ∥BC，∴△APN∽△ABM，
∴

PN

BM

=

AN

AM

，
同理

QN

CM

=

AN

AM

，
∵BM=CM，∴PN=NQ

（2）

PB

PA

+

QC

QA

=2

MN

NA

，
如圖，過B，C兩點(diǎn)作AM的平行線交直線于D，F(xiàn)，
∵BD∥AM，CE∥AM
∴BD∥CE
∴△BDP∽△ANP，△CEQ∽△ANQ
∴

PB

PA

=

BD

NA

，

QC

QA

=

EC

NA

，
∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)，MN∥CE∥BD
∴NM為梯形BDEC的中位線，
∴BD+EC=2MN，
∴

PB

PA

+

QC

QA

=2

MN

NA

．
故答案為2．

點(diǎn)評：本題主要考查相似三角形的判定，梯形的中位線原理，平行線平分線段成比例幾個考點(diǎn)，熟練掌握上述定理并靈活運(yùn)用是解答本題的關(guān)鍵．