Question

直線y=

3

4

x-6交x軸于點A，交y軸于點B，設點E（t，0）是x軸上一個動點，連接BE，將△BOE繞著點B順時針旋轉使點O落在線段AB上的點C處，得△BCF（點E落在點F處）．
（1）求A、B、C三點的坐標；
（2）當點E在A點的右側時，求點F點的坐標（用含t的代數(shù)式）；
（3）問在點E的運動過程中，是否存在著四邊形BCFE或OBFE為梯形嗎？若存在，請
求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）直線y=

3

4

x-6中，令y=0，x=0，可得A、B兩點坐標，過C點作CD⊥x軸，垂足為D，由△ACD∽△ABO，可求AD，CD，確定C點坐標；
（2）過D作X軸的垂線，交AB于Q，過F作Y軸的垂線FG，垂足是G，兩線交于N，得到則∠BQN=∠QFN=∠OBA，根據(jù)sin∠OBA=

4

5

，cos∠OBA=

3

5

，即可求出F的坐標；
（3）當四邊形OBFE為梯形時，且BF∥OE時，根據(jù)則△ABO∽△BFC，得出

OA

AB

=

BC

BF

，代入即可求出t=±8；同法可求：當四邊形OBFE為梯形時，且BO∥EF時，t=12；當四邊形BCFE為梯形時，且BE∥CF時，t=-4.5；當四邊形BCFE為梯形時，且BC∥EF時，t=-12．

解答：解：（1）y=

3

4

x-6中，令y=0，x=0，可得A、B兩點坐標，
令y=0，得到0=

3

4

x-6，解得：x=8，∴A（8，0），
令x=0，解得：y=-6，∴B（0，-6），
在△AOB中由勾股定理得：AB=10，
∴AC=10-6=4，
過C點作CD⊥x軸，垂足為D，則△ACD∽△ABO，
∴

AD

AO

=

AC

AB

=

CD

BO

，
∴

AD

8

=

4

10

=

CD

6

，
∴AD=

16

5

，CD=

12

5

，
∴OD=8-

16

5

=

24

5

，
∴C（

24

5

，-

12

5

）；
答：A、B、C三點的坐標分別是（8，0），（0，-6），（

24

5

，-

12

5

）．

（2）過D作x軸的垂線，交AB于C，過F作y軸的垂線FG，垂足是G，兩線交于N，
過C作y軸的垂線CQ，垂足為Q，交y軸于點Q，

∵∠BCF=90°，∠CNF=90°，
∴∠BCN+∠NCF=90°，∠NCF+∠CFN=90°，
∴∠BCN=∠CFN，
又∠OBA+∠QCB=90°，∠BCN+∠QCB=90°，
∴∠BCN=∠OBA，
則∠BCN=∠CFN=∠OBA，
又OA=8，OB=6，
∵sin∠OBA=

4

5

，cos∠OBA=

3

5

，
∴sin∠CFB=

4

5

，cos∠CFB=

3

5

，
∵CF=OE=t，
∴GQ=CN=

4

5

t，F(xiàn)N=

3

5

t，
∵C（

24

5

，-

12

5

），
∴F（

24

5

+

3

5

t，-

12

5

-

4

5

t），
答：點F的坐標是F（

24

5

+

3

5

t，-

12

5

-

4

5

t）．

（3）解：當四邊形OBFE為梯形時，且BF∥OE時，則△ABO∽△BFC，
∴

OA

AB

=

BC

BF

，
即

8

10

=

6

t2+36

，
解得：t=±

9

2

；

同法可求：當四邊形OBFE為梯形時，且BO∥EF時，
t=12；

當四邊形BCFE為梯形時，且BE∥CF時，t=-4.5；

當四邊形BCFE為梯形時，且BC∥EF時，t=-12，

答：在點E的運動過程中，存在著四邊形BCFE或OBFE為梯形，t的值是±

9

2

或12或-12．

點評：此題主要考查了一次函數(shù)的圖象上點的坐標特征，相似三角形的性質和判定，勾股定理，梯形，旋轉的性質等知識點，熟練地應用這些性質進行計算是解決問題的關鍵．此題是一個拔高的題目，有一定的難度．