如圖,點B1(1,y1),B2(2,y2),B3(3,y3)…,Bn(n,yn)(n是正整數(shù))依次為一次函數(shù)y=
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x+
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的圖象上的點,點A1(x1,0),A2(x2,0),A3(x3,0),…,An(xn,0)(n是正整數(shù))依次是x軸正半軸上的點,已知x1=a(0<a<1),△A1B1A2,△A2B2A3,△A3B3A4…△AnBnAn+1分別是以B1,B2,B3,…,Bn為頂點的等腰三角形.
(1)寫出B2,Bn兩點的坐標;
(2)求x2,x3(用含a的代數(shù)式表示);分析圖形中各等腰三角形底邊長度之間的關系,寫出你認為成立的兩個結(jié)論;
(3)當a(0<a<1)變化時,在上述所有的等腰三角形中,是否存在直角三角形?若存在,求出相應的a的值;若不存在,請說明理由.
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分析:(1)因為點B1(1,y1),B2(2,y2),B3(3,y3)…,Bn(n,yn)(n是正整數(shù))依次為一次函數(shù)y=
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x+
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的圖象上的點,所以分別令x=2,x=n,求出相應的y值即可;
(2)因為△A1B1A2,△A2B2A3,△A3B3A4…△AnBnAn+1分別是以B1,B2,B3,…,Bn為頂點的等腰三角形,利用等腰三角形底邊上的高垂直平分底邊,可知x2-1=1-x1,x3-2=2-x2,其中x1=a,所以x2=2-a,x3=4-x2=2+a,
分析圖形中各等腰三角形底邊長度之間的關系時,分兩種情況,當頂點為B1,B3,B5,等奇數(shù)位置上的等腰三角形底邊長都等于2-2a;頂點為B2,B4,B6,等偶數(shù)位置上的等腰三角形底邊長都等于2a;
(3)可設第n個等腰三角形恰好為直角三角形,那么這個三角形的底邊等于高yn的2倍.由第(2)小題的結(jié)論可知:
當n為奇數(shù)時,有2-2a=2(
n
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)
,化簡得到用a表示n的式子,結(jié)合a的取值范圍,求出n的取值范圍,利用n是正整數(shù),即可求出n的值;當n為偶數(shù)時,有2a=2(
n
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+
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)
,同樣化簡得到用a表示n的式子,結(jié)合a的取值范圍,求出n的取值范圍,利用n是正整數(shù),即可求出n的值.
解答:解:(1)B2(2,
7
12
),Bn(n,
n
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+
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)


(2)x2=2-a,x3=2+a,
結(jié)論1:頂點為B1,B3,B5,等奇數(shù)位置上的等腰三角形底邊長都等于2-2a,
結(jié)論2:頂點為B2,B4,B6,等偶數(shù)位置上的等腰三角形底邊長都等于2a,
結(jié)論3:每相鄰的兩個等腰三角形底邊之和都等于常數(shù)2.

(3)設第n個等腰三角形恰好為直角三角形,那么這個三角形的底邊等于高yn的2倍.由第(2)小題的結(jié)論可知:
當n為奇數(shù)時,有2-2a=2(
n
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+
1
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)
,化簡得:n=-4a+
11
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(0<a<1)
,
-
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3
<n<
11
3
,∴n=1或3
∴a=
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3
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,
當n為偶數(shù)時,有2a=2(
n
4
+
1
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)
,得:n=4a-
1
3
(0<a<1)
,
-
1
3
<n<
11
3
,∴n=2
∴a=
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,
綜上所述,存在直角三角形,且a=
2
3
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6
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點評:本題需利用數(shù)形結(jié)合的思想,靈活運用一次函數(shù)同等腰三角形的性質(zhì)來解決問題.
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