Question

如圖甲，小紅家的陽(yáng)臺(tái)上放置了一個(gè)曬衣架，如圖乙是曬衣架的側(cè)面示意圖，立桿AB，CD相交于點(diǎn)O，B，D兩點(diǎn)立于地面，經(jīng)測(cè)量：AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，OE=OF=34cm，現(xiàn)將曬衣架完全穩(wěn)固張開，此時(shí)扣鏈EF成一條線段，EF=32cm．
（1）求證：AC∥BD．
（2）求扣鏈EF與立桿AB的夾角∠OEF的度數(shù)（精確到0.1°，可使用科學(xué)計(jì)算器）．

Answer 1

考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用

專題：

分析：（1）根據(jù)等角對(duì)等邊得出∠OAC=∠OCA=

1

2

（180°-∠BOD）和∠OBD=∠ODB=

1

2

（180°-∠BOD），進(jìn)而利用平行線的判定得出即可；
（2）首先作OM⊥EF于點(diǎn)M，則EM=16cm，利用cos∠OEF=

EM

OE

=

16

34

=

8

17

≈0.471，即可得出∠OEF的度數(shù)；

解答：（1）證明：證法一：∵AB、CD相交于點(diǎn)O，
∴∠AOC=∠BOD…1分
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=

1

2

（180°-∠BOD），
同理可證：∠OBD=∠ODB=

1

2

（180°-∠BOD），
∴∠OAC=∠OBD，
∴AC∥BD，
證法二：AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，
∴OB=OD=85cm，
∴

OA

OB

=

OC

OD

=

3

5

又∵∠AOC=∠BOD
∴△AOC∽△BOD，
∴∠OAC=∠OBD；…2分
∴AC∥BD…3分；

（2）解：在△OEF中，OE=OF=34cm，EF=32cm；
作OM⊥EF于點(diǎn)M，則EM=16cm；…4分
∴cos∠OEF=

EM

OE

=

16

34

=

8

17

≈0.471，
用科學(xué)記算器求得∠OEF=61.9°；

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及解直角三角形，根據(jù)已知構(gòu)造直角三角形利用銳角三角函數(shù)解題是解決問題的關(guān)鍵．