Question

如圖，在?ABCD中，AB=6cm，AD=AC=5cm．點(diǎn)P由C出發(fā)沿CA方向勻速運(yùn)動，速度為1cm/s；同時(shí)，線段EF由AB出發(fā)沿AD方向勻速運(yùn)動，速度為1cm/s，交AC于Q，連接PE、PF．若設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t（s）（0＜t＜5）．解答下列問題：
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PE∥CD？并求出此時(shí)PE的長；
（2）試判斷△PEF的形狀，并請說明理由．
（3）當(dāng)0＜t＜2.5時(shí)，
（ⅰ）在上述運(yùn)動過程中，五邊形ABFPE的面積______（填序號）
①變大        ②變小        ③先變大，后變小        ④不變
（ⅱ）設(shè)△PEQ的面積為y（cm²），求出y（cm²）與t（s）之間的函數(shù)關(guān)系式及y的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意推出AP的長度，然后推出△APE∽△ACD，根據(jù)對應(yīng)邊成比例，即可推出t的值，推出點(diǎn)P、E分別為AC、AD的中點(diǎn)，即可推出EF的長度；
（2）根據(jù)題意推出∠CFQ=∠CQF，既而推出CF=CQ，因此AQ=BF=AE，AP=CQ=CF，從而推出△PAE≌△FCP，因此PE=PF，即△PEF是等腰三角形；
（3）①根據(jù)題意，即可推出不變，②過點(diǎn)P作PH⊥EF于點(diǎn)H，過點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，通過求證△AQE∽△ACD，△PQH∽△CAG，即可推出QE，PH關(guān)于t的表達(dá)式，即可推出y關(guān)于t的解析式，根據(jù)二次函數(shù)的最值即可推出y的取值范圍．
解答：解：（1）∵AE=BF=CP=t，
∴AP=5-t，
在?ABCD中，AD=BC=AC=5，AB=EF=CD=6，
∵PE∥CD，
∴△APE∽△ACD，
∴，
∴t=2.5，
此時(shí)點(diǎn)P、E分別為AC、AD的中點(diǎn)，
∴PE===3cm；（4分）

（2）△PEF是等腰三角形（5分）
證明：在?ABCD中，AD=BC=AC，AB=EF=CD，
∴∠CAB=∠CBA，
∵AB∥EF，
∴∠CQF=∠CAB，∠CFQ=∠CBA，
∴∠CFQ=∠CQF，
∴CF=CQ，
∴AQ=BF=AE，
∴AP=CQ=CF，
∵AD∥BC，
∴∠PAE=∠FCP，
∴△PAE≌△FCP，
∴PE=PF；（8分）

（3）（�。┰谏鲜鲞\(yùn)動過程中，五邊形ABFPE的面積④（填序號）（10分）
（ⅱ）∵△AQE∽△ACD，
∴，
∴（11分）
過點(diǎn)P作PH⊥EF于點(diǎn)H，過點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，
∴△PQH∽△CAG，
∴，
∴PH=
∴y=（13分）
∴當(dāng)時(shí)，y_最大=，
∴0＜y≤．（14分）
點(diǎn)評：本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定、平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵在于熟練地運(yùn)用各個(gè)性質(zhì)求證相關(guān)的三角形相似．