Question

（2013•白云區(qū)一模）如圖，D為△ABC的AB邊上一點(diǎn)，E為AC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CE=BD．
（1）當(dāng)AB=AC時(shí)，求證：DE＞BC；
（2）當(dāng)AB≠AC時(shí)，DE與BC有何大小關(guān)系？給出結(jié)論，畫出圖形，并證明．

Answer 1

分析：（1）作DF∥BC，CF∥BD（如圖1），則四邊形BCFD是平行四邊形，從而∠DFC=∠B，DF=BC，CF=BD，再由BD=CE可得出∠1=∠2，再由大角對(duì)大邊即可得出結(jié)論；
（2）由于AB、CD的大小不能確定，故應(yīng)分①AB＞AC但AB=AE時(shí)；②當(dāng)AB＞AC但AB＜AE時(shí)；③當(dāng)AB＞AC且AB＞AE時(shí)；④當(dāng)AB＜AC時(shí)四種情況進(jìn)行分類討論．

解答：（1）證明：作DF∥BC，CF∥BD（如圖1），則四邊形BCFD是平行四邊形，從而∠DFC=∠B，DF=BC，CF=BD，
∵BD=CE，
∴CF=CE，
∴∠1=∠2．
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B而∠DFE=∠DFC+∠1=∠B+∠1=∠ACB+∠2＞∠AED+∠2=∠DEF，
即在△DEF中，
∵∠DFE＞∠DEF，
∴DE＞DF，即DE＞BC；

（2）解：當(dāng)AB≠AC時(shí)，DE與BC的大小關(guān)系如下：
當(dāng)AB＞AC但AB=AE時(shí)，DE=BC；
當(dāng)AB＞AC但AB＜AE時(shí)，DE＞BC；
當(dāng)AB＞AC且AB＞AE時(shí)，DE＜BC；
當(dāng)AB＜AC時(shí)，DE＞BC．
證明如下：
①當(dāng)AB＞AC但AB=AE時(shí)（如圖2），
∵BD=CE，
∴AB-BD=AE-CE，即AD=AC．
在△ABC和△AED中，
∵

AB=AE ∠A=∠A AC=AD

，
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴BC=ED；
②AB＞AC但AB＜AE時(shí)，延長(zhǎng)AB到F，使AF=AE，
在AE上截取AP=AD（如圖3），連結(jié)PF．
在△AFP和△AED中，
∵

AE=AF ∠A=∠A AD=AP

，
∴△AFP≌△AED（SAS），
∴∠F=∠AED，即∠F=∠4．
∵∠ABC＞∠F，
∴∠ABC＞∠4．
過D點(diǎn)作DQ∥BC，且DQ=BC，連結(jié)CQ、EQ，則四邊形DBCQ為平行四邊形，
∴∠3=∠ABC，CQ=BD．
∵BD=CE，∴CQ=CE，
∴∠1=∠2．
∵∠3=∠ABC＞∠4，
∴∠3+∠1＞∠2+∠4，即∠DQE＞∠DEQ，
∴DE＞DQ，∴DE＞BC；
③當(dāng)AB＞AC且AB＞AE時(shí)，延長(zhǎng)AE到F，使AF=AB，在AB上截取AP=AC（如圖4），連結(jié)PF．
在△ABC和△AFP中，
∵

AB=AF ∠A=∠A AC=AP

，
∴△ABC≌△AFP（SAS），
∴∠B=∠F．
∵∠4＞∠F，
∴∠4＞∠B．
過D點(diǎn)作DQ∥BC，且DQ=BC，連結(jié)CQ、EQ，則四邊形DBCQ為平行四邊形，
∴∠3=∠B，CQ=BD．
∵BD=CE，
∴CQ=CE，
∴∠1=∠2．
∵∠3=∠B＜∠4，
∴∠3+∠1＜∠4+∠2，即∠DQE＜∠DEQ，
∴DE＜DQ，
∴DE＜BC．
④當(dāng)AB＜AC時(shí)，此時(shí)，AB必小于AE，即AB＜AE，延長(zhǎng)AB到F，使AF=AE，在AE上截取AP=AD（如圖5）．連結(jié)PF．在△AFP和△AED中，
∵

AF=AE ∠A=∠A AP=AD

，
∴△AFP≌△AED（SAS），
∴∠F=∠AED，即∠F=∠4．
∵∠ABC＞∠F，
∴∠ABC＞∠4．
過D點(diǎn)作DQ∥BC，且DQ=BC，連結(jié)CQ、EQ，則四邊形DBCQ為平行四邊形，
∴∠3=∠ABC，CQ=BD．
∵BD=CE，
∴CQ=CE，
∴∠1=∠2．
∵∠3=∠ABC＞∠4，
∴∠3+∠1＞∠2+∠4，即∠DQE＞∠DEQ，
∴DE＞DQ，
∴DE＞BC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是四邊形綜合題，涉及到平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)，難度較大．