Question

15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)系原點，點A（3a，2a）在第一象限，過點A向x軸作垂線，垂足為點B，連接OA，S_△AOB=12．點M從點O出發(fā)，沿y軸的正半軸以每秒2個單位長度的速度運動，點N從點B出發(fā)，沿射線BO以每秒3個單位長度的速度運動，點M與點N同時出發(fā)，設(shè)點M的運動時間為t秒，連接AM，AN，MN．
（1）求a的值；
（2）當(dāng)0＜t＜2時，
①請?zhí)骄俊螦NM，∠OMN，∠BAN之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
②試判斷四邊形AMON的面積是否變化？若不變化，請求出；若變化，請說明理由．
（3）當(dāng)OM=ON時，請求出t的值及△AMN的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形面積公式可以求出a．
（2）①如圖1作NH∥AB即可證明；②根據(jù)S_{四邊形AMON}=S_梯形ABOM-S_△ANB=$\frac{1}{2}$（OM+AB）•OB-$\frac{1}{2}•BN•AB$計算即可．
（3）分兩種情形：①點N在原點左邊；②點N在原點右邊考慮．

解答 解：（1）∵S_△AOB=12，
∴$\frac{1}{2}$•3a•2a=12，
∴a²=4，
∵a＞0，
∴a=2．
（2）當(dāng)O＜t＜2時，①結(jié)論：∠MNA=∠NMO+∠NAB，理由如下：
作NH∥AB，
∵AB⊥x軸，
∴OM∥AB∥NH，
∴∠MNO=∠MNH，∠NAB=∠HNA，
∴∠MNA=∠NMO+∠NAB．
②結(jié)論：S_{四邊形AMON}=12，理由如下：
由題意BN=3t，OM=2t，OB=6，AB=4，
∵S_{四邊形AMON}=S_梯形ABOM-S_△ANB=$\frac{1}{2}$（OM+AB）•OB-$\frac{1}{2}•BN•AB$=，$\frac{1}{2}（2t+4）•6-\frac{1}{2}•3t•4$=6t+12-6t=12．
∴四邊形AMON的面積不變．
（3）∵OM=ON，
∴2t=6-3t或2t=3t-6
∴t=$\frac{6}{5}$或6，
t=$\frac{6}{5}$時，OM=$\frac{12}{5}$，BN=$\frac{18}{5}$，ON=$\frac{12}{5}$，
∴S_△AMN=S_△AOM+S_△AON-S_△MON=$\frac{1}{2}$$•\frac{12}{5}$•6+$\frac{1}{2}$$•\frac{12}{5}$•4-$\frac{1}{2}$$•\frac{12}{5}$$•\frac{12}{5}$=$\frac{228}{25}$．
當(dāng)t=6時，如圖2，OM=ON=12，
∴S_△AMN=S_△MON+S_△OMA-S_△ANO=$\frac{1}{2}×12×12+\frac{1}{2}×12×6-\frac{1}{2}×12×4$=84．

點評 本題考查平面直角坐標(biāo)系、平行線的性質(zhì)、三角形、四邊形的面積的有關(guān)知識，學(xué)會用分割法求三角形面積．