Question

15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，二次函數(shù) y=a（x+2）（x-4）（a＜0）的圖象與 x 軸交于 A，B 兩點(diǎn)（點(diǎn) A 在點(diǎn) B的左側(cè)），頂點(diǎn)為 M，經(jīng)過點(diǎn) A 的直線 l：y=ax+b 與 y 軸交于點(diǎn) C，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為 D．

（1）直接寫出點(diǎn) A 的坐標(biāo)（-20）、點(diǎn) B 的坐標(biāo)（40）；
（2）如圖（1），若頂點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（1，9），連接 BM、AM、BD，請(qǐng)求出二次函數(shù)及一次函數(shù)的解析式，并求出四邊形 ADBM 的面積；
（3）如圖（2），點(diǎn) E 是直線 l 上方的拋物線上的一點(diǎn)，若△ACE 的面積的最大值為$\frac{49}{4}$時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí) E 點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）令y=0解方程即可．
（2）用待定系數(shù)法即可求出兩個(gè)函數(shù)的解析式，再根據(jù)A、D、B、M的坐標(biāo)求出四邊形ADBM的面積．
（3）過點(diǎn)E作EF∥y軸，交直線AD于點(diǎn)F，設(shè)E（x，ax²-2ax-8a），寫出△ACE面積的表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)的最大值列出方程即可解決．

解答 解：（1）如圖一，令 y=0，則a（x+2）（x-4）=0，
解得x₁=-2，x₂=4，
所以A（-2，0），B（4，0）．
故答案為：A（-2，0）；（ 4，0）；

（2）如圖一，連接BD．
∵二次函數(shù) y=a（x+2）（x-4）頂點(diǎn)為（1，9），帶入即可求得 a=1．
∴拋物線為 y=-x²+2x+8，
∵一次函數(shù) y=ax+b 經(jīng)過 A（-2，0），
∴2=-a+b，
∴b=a，
∴一次函數(shù)為：y=-x-2，聯(lián)立一次函數(shù)與二次函數(shù)解析式可求 D（4-7）；
S_{四邊形ADBM}=S_△ABM+S_△ABD=$\frac{1}{2}$×6×9+$\frac{1}{2}$×6×7=48．

（3）如圖二，過 點(diǎn) E 作 EF∥y 軸，交 直 線 AD 于 點(diǎn) F，設(shè) E（x，ax²-2ax-8a），則
F（x，ax+2a），EF=ax²-2ax-8a-（ax+a）=ax²-3ax-10a，
∵S_ACE=S_AFE-S_△CFE=$\frac{1}{2}$（ax²-3ax-10a）?（x+1）-$\frac{1}{2}$（ax²-3ax-10a）?x=$\frac{1}{2}$（ax²-3ax-10a）=$\frac{1}{2}$（ax²-3ax-10a）
∴當(dāng) x=$\frac{3}{2}$時(shí)，△ACE 面積最大值=$\frac{-49}{8a}=\frac{49}{4}$，
∴a=-2，
∴此時(shí)點(diǎn) E$（\frac{3}{2}，\frac{35}{2}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)、一次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)、三角形面積、四邊形面積等知識(shí)，靈活運(yùn)用函數(shù)與方程的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵，本題比較難，需要有一定的代數(shù)化簡技巧．