Question

觀察下列等式

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，將以上三個等式兩邊分別相加得：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

=1-

1

4

=

3

4

．
（1）猜想并寫出：

1

n(n+1)

=  

1

n

-

1

n+1

（2）直接寫出下列各式的計算結(jié)果：
①

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2011×2012

=

2011

2012

②

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n×(n+1)

=

n

n+1

（3）探究并計算：

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

+…+

1

2010×2012

．

Answer 1

分析：觀察得到分子為1，分母為兩個相鄰整數(shù)的分數(shù)可化為這兩個整數(shù)的倒數(shù)之差，即

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；然后根據(jù)此規(guī)律把各分數(shù)轉(zhuǎn)化，再進行分數(shù)的加減運算．對于（3）先提

1

4

出來，然后和前面的運算方法一樣．

解答：解：（1）

1

n

-

1

n+1

；（2）①

2011

2012

；②

n

n+1

；
（3）原式=

1

4

（

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

1005×1006

）
=

1

4

×

1005

1006

=

1005

4024

．

點評：本題考查了關(guān)于數(shù)字變化的規(guī)律：通過觀察數(shù)字之間的變化規(guī)律，得到一般性的結(jié)論，再利用此結(jié)論解決問題．