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如果a= $數(shù)學(xué)公式$ ，求a²+ $數(shù)學(xué)公式$ 的值．

解：
解法一：因?yàn)?a+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
平方得：64a²+16a $\text{[math]}$ +2=16 $\text{[math]}$ +2
由此得：4a²+a $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =0
設(shè)x= $\text{[math]}$ +a²，
y= $\text{[math]}$ -a²，
得xy=a+1
x-y=2a²= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （1-a）
因此x與y是關(guān)于t的方程
t²- $\text{[math]}$ （1-a）t-（a+1）=0的兩根，
有t_1、2= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ，則t₁= $\text{[math]}$ ，t₂=- $\text{[math]}$
因?yàn)閤＞y且a＜1，則 $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，
因此x= $\text{[math]}$ ，即a²+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
解法二：由已知條件得（a+ $\text{[math]}$ ）²= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）
∴a²+ $\text{[math]}$ a= $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ a²+ $\text{[math]}$ a- $\text{[math]}$ =0，
∴ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ a²- $\text{[math]}$ =0 ①
這表明 $\text{[math]}$ 是關(guān)于t的方程t²-a²t- $\text{[math]}$ =0 ②
的正實(shí)根，因此 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （a²+ $\text{[math]}$ ）
∴a²+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
解法三：由已知得：a+ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
兩邊平方，得：a²+ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ a+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$
移項(xiàng)，得：a²= $\text{[math]}$ （1-a） ①
則a⁴= $\text{[math]}$ （1-a）²②
∴a²+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （1-a）+ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ （1-a）+ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ （1-a）+ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ （1-a+a+3）= $\text{[math]}$ ；
解法四：由已知得：a+ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
兩邊平方，得：a²+ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ a+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ a=-a²+ $\text{[math]}$ ，
兩邊乘以2 $\text{[math]}$ ，得a=-2 $\text{[math]}$ a²+1
兩邊加上a⁴+1，得
a⁴+1+a=-2 $\text{[math]}$ a²+a⁴+2
即a⁴+a+1=（ $\text{[math]}$ -a²）²，
顯然0＜a＜1，0＜a²＜1，
∴ $\text{[math]}$ -a²＞0，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ -a²，
∴a²+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：已知條件比較復(fù)雜，因此，需要從已知條件著手，將已知條件變形得出所求式子的結(jié)構(gòu)，提供如下四種變形的方法供參考．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值．解法二巧妙地利用常數(shù)與變量的相互轉(zhuǎn)化，把①中的 $\text{[math]}$ 看成變量，a看成常量，則①轉(zhuǎn)化為②，即得關(guān)于t的方程：t²-a²t- $\text{[math]}$ =0，其中t是變量，a是常量，從而求解．

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已知矩形ABCD的面積為36，以此矩形的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，y），其中x＞0，y＞0．
（1）求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，求出自變量x的取值范圍；
（2）用x、y表示矩形ABCD的外接圓的面積S，并用下列方法，解答后面的問(wèn)題：

方法：∵a2+

=(a-

)2+2k（k為常數(shù)且k＞0，a≠0），
∵(a-

)2≥0
∴a2+

≥2k
∴當(dāng)a-

=0，即a=±

時(shí)，a2+

取得最小值2k．
問(wèn)題：當(dāng)點(diǎn)A在何位置時(shí)，矩形ABCD的外接圓面積S最小并求出S的最小值；
（3）如果直線y=mx+2（m＜0）與x軸交于點(diǎn)P，與y軸交于點(diǎn)Q，那么是否存在這樣的實(shí)數(shù)m，使得點(diǎn)P、Q與（2）中求出的點(diǎn)A構(gòu)成APQ的面積是矩形ABCD面積的

？若存在，請(qǐng)求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如果

的整數(shù)部分是a，而

的小數(shù)部分是b．求a²+|b-1|的值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•貴陽(yáng)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有一條直線l：y=-

x+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)M、N，一個(gè)高為3的等邊三角形ABC，邊BC在x軸上，將此三角形沿著x軸的正方向平移．
（1）在平移過(guò)程中，得到△A₁B₁C₁，此時(shí)頂點(diǎn)A₁恰落在直線l上，寫出A₁點(diǎn)的坐標(biāo)

（

，3）

（

，3）

；
（2）繼續(xù)向右平移，得到△A₂B₂C₂，此時(shí)它的外心P恰好落在直線l上，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在直線l上是否存在這樣的點(diǎn)，與（2）中的A₂、B₂、C₂任意兩點(diǎn)能同時(shí)構(gòu)成三個(gè)等腰三角形？如果存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，說(shuō)明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如果a=,求a²+的值.

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高中

初中

小學(xué)

如果a=，求a2+的值．

如果a= $數(shù)學(xué)公式$ ，求a²+ $數(shù)學(xué)公式$ 的值．