Question

如圖，△ABC與△CDE均為等邊三角形，B、C、E在同一直線上，AE、BD交于點G，AC交BD于M，CD交AE于N，連接CG．
（1）若AB=2，DE=5，求AE的長．
（2）求證：EG=CG+DG．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）過A作AP⊥BE于P，求出CP，求出PE，根據(jù)勾股定理求出AE即可．
（2）證△ACE≌△BCD，推出△ACE≌△BCD，推出∠BDC=∠AEC，證△DGC≌△EFC，推出CG=CF，∠GCD=∠FCE，得出等邊三角形GCF，推出CG=GF即可．

解答：（1）解：過A作AP⊥BE于P，
在等邊三角形△ABC中，BC=2，
∴CP=

1

2

BC=1，PA=

AC2-CP2

=

22-12

=

3

，
∵CE=5，
∴PE=CP+CE=6，
在Rt△APE中，AE=

AP2+PE2

=

3+62

=

39

，

（2）證明：在EG上截取FE=DG，連接CF，CG，
在等邊△ABC和等邊△DCE中，
AC=BC，CE=CD，∠DCE=∠BCA=60°，
∴∠DCE+∠DCM=∠BCA+∠DCM，
即∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，

AC=BC ∠ACE=∠BCD CE=CD

     
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠BDC=∠AEC，
在△DGC和△EFC中，

DG=EF ∠GDC=∠FEC DC=EC

 
∴△DGC≌△EFC（SAS），
∴CG=CF，∠GCD=∠FCE，
∵∠FCE+∠FCD=60°，
∴∠GCD+∠FCD=60°，即∠GCF=60°
∴△GCF為等邊三角形，
∴CG=GF，
∴GE=GF+FE=GD+CG，
即EG=CG+DG．

點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力．