Question

如圖，已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（1,2），與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，點(diǎn)B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為C，過(guò)點(diǎn)B作直線BM⊥軸垂足為點(diǎn)M．

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）在直線BM上有點(diǎn)P（1，），聯(lián)結(jié)CP和CA，判斷直線CP與直線CA的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（3）在（2）的條件下，在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)E，使得以A、C、P、E為

頂點(diǎn)的四邊形為直角梯形，若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

答案：（1）∵點(diǎn)B（1,2）在二次函數(shù)的圖像上，

  ∴ -

∴二次函數(shù)的解析式為-

（2）直線CP與直線CA的位置關(guān)系是垂直

∵二次函數(shù)的解析式為

∴點(diǎn)A(3,0)   C(2,2)

∵P（1，）

∴      

∴    ∴∠PCA=90°

即CP⊥CA

(3)  假設(shè)在坐標(biāo)軸上存在點(diǎn)E，使得以A、C、P、E為頂點(diǎn)的四邊形為直角梯形，

∵∠PCA=90°

則①當(dāng)點(diǎn)E在軸上，PE//CA

∴△CBP∽△PME ， ∴，∴，∴---------------(2分)

②當(dāng)點(diǎn)E在軸上， PC//AE

∴△CBP∽△AOE，  ∴，∴，∴--------------(2分)

即點(diǎn)Q的坐標(biāo)、時(shí)，以A、C、P、E為頂點(diǎn)的四邊形為直角梯形。