Question

如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長(zhǎng)BD到點(diǎn)C，使DC=BD，連結(jié)AC，過點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E．
（1）求證：AB=AC；  
（2）求證：DE為⊙O的切線；  
（3）若⊙O的直徑為13，BC=10，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC，
∵BD=DC，
∴AB=AC；

（2）證明：連接OD，
∵AO=BO，BD=DC，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OD為半徑，
∴DE為⊙O的切線；

（3）解：過D作DF⊥AB于F，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴AD平分∠CAB，
∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DE=DF，
在Rt△ADB中，∠ADB=90°，BD=BC=×10=5，AB=13，由勾股定理得：AD=12，
由三角形面積公式得：AB×DF=AD×BD，
∴12×5=13×DF，
∴DF=，
即DE=DF=．
分析：（1）根據(jù)圓周角定理求出AD⊥BC，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)求出即可；
（2）根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得出OD∥AC，推出OD⊥DE，根據(jù)切線的判定推出即可；
（3）求出BD，根據(jù)勾股定理求出AD，根據(jù)三角形面積公式求出DF即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，線段垂直平分線，三角形中位線，三角形面積，勾股定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，題目比較好，綜合性比較強(qiáng)．