Question

如圖，Rt△AOB是一張放在平面直角坐標系中的三角形紙片，點O與原點重合，點A在x軸上，點B在y軸上OB=

3

，∠BAO=30°，將Rt△AOB折疊，使OB邊落在AB邊上，點O與點D重合，折痕為BE．
（1）求點E和點D的坐標；
（2）求經(jīng)過O、D、A三點的二次函數(shù)解析式；
（3）設(shè)直線BE與（2）中二次函數(shù)圖象的對稱軸交于點F，M為OF中點，N為AF中點，在x軸上是否存在點P，使△PMN的周長最小，若存在，請求出點P的坐標和最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)知：∠EBA=∠BAO=30°，由此可得∠OBE=30°，在Rt△OBE中，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求得OE的長，從而得到點E的坐標．同理可在Rt△OAB中，得到OA、OB的長，也就得到了A、B的坐標，由于D是AB的中點，根據(jù)A、B的坐標，即可得到點D的坐標．
（2）已知了拋物線圖象上的三點坐標，利用待定系數(shù)法求解即可．
（3）先求出直線BE的解析式，聯(lián)立拋物線的對稱軸放出，即可得到點F的坐標，進而可求出M、N的坐標；取點M關(guān)于x軸的對稱點M′，M′的坐標易求得，即可得到直線M′N的解析式，那么直線M′N和x軸的交點即為所求的P點，求出P點后，即可得到PM、PN的值，而MN的長為OA的一半，即可得到△PMN的最小周長．

解答：解：（1）據(jù)題意可得∠1=

1

2

∠ABO，OB=BD=

3

，DE=OE，
∵Rt△AOB中，∠BAO=30°，
∴∠ABO=60°，OA=3，AB=2

3

，
∴∠1=30°，A（3，0），B（0，

3

）．
Rt△EOB中，∵tan∠1=

OE

OB

∴

OE

3

=

3

3

∴OE=1，∴E點坐標為（1，0）；
過點D作DG⊥OA于G，易知D是AB的中點，且A（3，0），B（0，

3

），
則OG=

1

2

OA=1.5，DG=

1

2

OB=

3

2

；
故D（1.5，

3

2

）．

（2）∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過x軸上的O、A兩點，設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x-x₁）（x-x₂）；
據(jù)（1）得A點坐標為（3，0），
∴x₁=0，x₂=3，
把D點坐標（1.5，

3

2

）代入y=a（x-0）（x-3）
得a=-

2 3

9

，
∴二次函數(shù)的解析式為y=-

2 3

9

x2+

2 3

3

x．

（3）設(shè)直線BE的解析式為y=k₁x+b₁，把（0，

3

）和（1，0）分別代入y=k₁x+b₁
得：

k1=- 3 b1= 3

，
直線BE的解析式為y=-

3

x+

3

，
∵把x=1.5代入y=-

3

x+

3

得：y=-

3

2

，
F點坐標為（1.5，-

3

2

），M點坐標為（

3

4

，-

3

4

），N點坐標為（

9

4

，-

3

4

），
M點關(guān)于x軸對稱的點的坐標為M'（

3

4

，

3

4

），
設(shè)直線M'N的解析式為y=k₂x+b₂，把（

3

4

，

3

4

）和（

9

4

，-

3

4

）分別代入y=k₂x+b₂
得：k2=-

3

3

，b2=

3

2

，
∴直線M'N的解析式為y=-

3

3

x+

3

2

，
把y=0代入y=-

3

3

x+

3

2

得x=

3

2

，
∴x軸上存在點P，使△PMN的周長最小，P點坐標為（

3

2

，0），PM=

( 3 2 - 3 4 )2+(0- 3 4 )2

=

3

2

，PN=

( 3 2 - 9 4 )2+(0- 3 4 )2

=

3

2

，
∴△PMN周長=

3

2

+

3

2

+

3

2

=

3

2

+

3

．

點評：此題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)解析式的確定、三角形中位線定理、平面展開-最短路徑問題等知識，難度較大．