Question

如圖，在長方形ABCD（對邊相等，四角都是直角）中，將△ABC沿AC對折至△AEC位置，CE與AD交于點F．
（1）求證：△AFC是等腰三角形；
（2）若∠ACB=30°，BC=12cm，求DF的長．

Answer 1

分析：（1）由折疊的性質(zhì)可知∠ECA=∠BCA，由AD∥BC可知∠DAC=∠BCA，則∠ECA=∠DAC，可證△AFC是等腰三角形；
（2）在Rt△ABC中，BC=12，∠ACB=30°，可求AB的長，由矩形性質(zhì)得CD=AB，由折疊的性質(zhì)可知∠ECA=∠ACB=30°，利用互余關(guān)系可求∠DCF=30°，在Rt△CDF中求DF即可．

解答：（1）證明：由折疊的性質(zhì)可知∠ECA=∠BCA，
由AD∥BC可知∠DAC=∠BCA，
∴∠ECA=∠DAC，
∴△AFC是等腰三角形；

（2）解：∵在Rt△ABC中，BC=12，∠ACB=30°，
∴AB=BC•tan∠ACB=12×

3

3

=4

3

，
∴CD=AB=4

3

，
由折疊的性質(zhì)可知∠ECA=∠ACB=30°，
∴∠DCF=90°-∠ECA-∠ACB=30°，
在Rt△CDF中，
DF=CD•tan∠DCF=4

3

×

3

3

=4．

點評：本題考查了折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)的運用，解直角三角形的有關(guān)知識．關(guān)鍵是利用折疊的性質(zhì)將角、邊進(jìn)行轉(zhuǎn)化．