Question

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，點(diǎn)F在邊AC上，DF與BE相交于點(diǎn)G，且∠EDF=∠ABE．
求證：（1）△DEF∽△BDE；（2）DG•DF=DB•EF．

Answer 1

【答案】分析：（1）由AB=AC，根據(jù)等邊對(duì)等角，即可證得：∠ABC=∠ACB，又由DE∥BC，易得∠ABC+∠BDE=180°，∠ACB+∠CED=180°，則可證得：∠BDE=∠CED，又由已知∠EDF=∠ABE，則可根據(jù)有兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似，證得△DEF∽△BDE；
（2）由（1）易證得DE²=DB•EF，又由∠BED=∠DFE與∠GDE=∠EDF證得：△GDE∽△EDF，則可得：DE²=DG•DF，則證得：DG•DF=DB•EF．
解答：證明：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵DE∥BC，
∴∠ABC+∠BDE=180°，∠ACB+∠CED=180°．
∴∠BDE=∠CED，
∵∠EDF=∠ABE，
∴△DEF∽△BDE；

（2）由△DEF∽△BDE，得．
∴DE²=DB•EF，
由△DEF∽△BDE，得∠BED=∠DFE．
∵∠GDE=∠EDF，
∴△GDE∽△EDF．
∴，
∴DE²=DG•DF，
∴DG•DF=DB•EF．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定．注意有兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似以及相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例定理的應(yīng)用，還要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．