Question

如圖1，已知雙曲線y=（k₁＞0）與直線y=k₂x交于A、B兩點，點A在第一象限．試解答下列問題：
（1）若點A坐標為（4，2），則B點坐標為______．若點A的橫坐標為m，則B點坐標為______（用含m和k₁或k₂的式子表示）；
（2）如圖2，過原點作另一條直線l，交雙曲線y=（k₁＞0）于P、Q兩點，說明四邊形APBQ是平行四邊形；
（3）設點A、P的橫坐標分別為m、n，四邊形APBQ可能是矩形嗎？可能是正方形嗎？若可能，直接寫出m、n應滿足的條件；若不可能，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵雙曲線和直線y=k₂x都是關于原點的中心對稱圖形，它們交于A，B兩點，
∴B的坐標為（-4，-2），
（-m，-k₂m）或（-m，-）；
故答案為：（-4，-2）；（-m，-k₂m）或（-m，-）．


（2）由勾股定理OA=，
OB==，
∴OA=OB．
同理可得OP=OQ，
所以四邊形APBQ一定是平行四邊形；

（3）設點A、P橫坐標分別為：m，n，
由（1）可知A點坐標為（m，），點P坐標為：（n，），
要OP=OA，
只要m²+=n²+，
可得mn=k₁（∵m、n、k₁均為正數(shù)），
∴當mn=k₁時，OP=OA，
此時PQ=AB，四邊形APBQ是矩形；
四邊形APBQ不可能是正方形，
理由：點A，P不可能達到坐標軸，即∠POA≠90°．
分析：（1）由圖象性質可知，點A、B關于坐標原點對稱，由此可以求出A可求B坐標；
（2）根據(jù)勾股定理或對稱性易知OA=OB，OP=OQ因此四邊形APBQ一定是平行四邊形；
（3）根據(jù)矩形的性質和正方形的性質可以推出它們的可能性．
點評：此題考查了反比例函數(shù)、一次函數(shù)的圖形和性質，勾股定理，平行四邊形的性質，矩形和正方形的性質，熟知反比例函數(shù)及正比例函數(shù)的圖象均關于原點對稱的特點是解答此題的關鍵．