Question

（2002•荊門）如圖，等腰Rt△ABC的直角邊AB=2，點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時出發(fā)，以相同速度作直線運(yùn)動．已知點(diǎn)P沿射線AB運(yùn)動，點(diǎn)Q沿邊BC的延長線運(yùn)動，PQ與直線AC相交于點(diǎn)D．
（1）設(shè)AP的長為x，△PCQ的面積為S．求出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)AP的長為何值時，S_△PCQ=S_△ABC；
（3）作PE⊥AC于點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動時，線段DE的長度是否改變？證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題要分兩種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)P在線段AB上；②當(dāng)P在AB延長線上．
△PCQ都是以CQ為底，PB為高，可據(jù)此得出S、x的函數(shù)關(guān)系式．
（2）先計(jì)算出△ABC的面積，然后將其值代入（1）中得出的兩個函數(shù)式中，即可得出所求的AP的長．
（3）本題要分兩種情況進(jìn)行計(jì)算：
①當(dāng)P在線段AB上時，過P作PF∥QB交AC于F，那么不難得出△PFD≌△QCD，因此DF=CD=，而CF=AC-2AE，因此根據(jù)DE=EF+DF即可得出DE的長．
②當(dāng)P在線段AB延長線上時，DE=EF-FD．
然后比較①②的DE的長是否相等即可判斷出線段DE的長度是否改變．
解答：解：（1）①當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時（如圖1），S_△PCQ=CQ•PB．
∵AP=CQ=x，PB=2-x．
∴S_△PCQ=x（2-x）．
即S=（2x-x²）（0＜x＜2）；
②當(dāng)點(diǎn)P在AB延長線上時（如圖2），S_△PCQ=CQ•PB．
∵AP=CQ=x，PB=x-2．
∴S_△PCQ=x（x-2）．
即S=（x²-2x）（x＞2）；

（2）S_△ABC=×2×2=2．
①令（2x-x²）=2，即x²-2x+4=0，此方程無解；
②令（x²-2x）=2，即x²-2x-4=0，解得x=1±．
故當(dāng)AP的長為1+時，S_△PCQ=S_△ABC．

（3）作PF∥BC交AC交延長線于F，則AP=PF=CQ．
∴△PFD≌△QCD．
∴FD=CD=．
∵AP=x，
∴AE=EF=．
∵AB=2，
∴AC=2．
①當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時，
∵CF=AC-AF=2-x，F(xiàn)D==-x．
∴DE=EF+DF=-x+=；
②當(dāng)點(diǎn)P在AB延長線上時，
∵CF=AF-AC=x-2．FD==x-．
∴DE=EF-FD=AF-AE-DF=x-x-（x-）=．
故當(dāng)P、Q運(yùn)動時，線段DE的長度保持不變，始終等于．
點(diǎn)評：本題結(jié)合三角形的相關(guān)知識考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，主要考查了學(xué)生分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．