Question

如圖，已知拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，與x軸交于另一點(diǎn)A，它的對(duì)稱(chēng)軸x=2與x軸交于點(diǎn)C，直線(xiàn)y=2x+1經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)上一點(diǎn)B（m，-3），且與y軸、直線(xiàn)x=2分別交于點(diǎn)D，E。
（1）求拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式并用配方法把這個(gè)解析式化成y=a（x-h）²+k的形式；
（2）求證：CD⊥BE；
（3）在對(duì)稱(chēng)軸x=2上是否存在點(diǎn)P，使△PBE是直角三角形，如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出△PAB的面積；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）∵已知拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x=2， ∴設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為， 又∵直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（m，-3）， ∴， 解得，m=-2， ∴點(diǎn)B（-2，-3）， 又∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)O（0，0） B（-2，-3）， 解得， ∴拋物線(xiàn)的解析式為；
（2）由題意解方程組， 得 ∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，5）， ∴CE=5， 過(guò)點(diǎn)B作BF垂直于x軸于F，作BH垂直于直線(xiàn)x=2于H，交y軸于點(diǎn)Q， ∵點(diǎn)B（-2，-3），D（0，1）， ∴BF=3，BH=4，CH=BF=3，OD=1，EH=8，DQ=4， 在Rt△BHE，Rt△BQO，Rt△BHC中 有勾股定理得BE=，BD=，BC=， ∴BD=BE 又∵EC=5， ∴BC=CE， ∴CD⊥BE；
（3）結(jié)論：存在點(diǎn)P，使△PBE是直角三角形， ①當(dāng)∠BPE=90°時(shí)，點(diǎn)P與（2）中的點(diǎn)H重合， ∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-3）； 延長(zhǎng)BH與過(guò)點(diǎn)A（4，0）且與x軸垂直的直線(xiàn)交于M，則 ②當(dāng)∠EBP=90°時(shí)，設(shè)點(diǎn)P（2，y）， ∵E（2，5），H（2，-3），B（-2，-3）， ∴BH=4，EH=8，PH=-3-y， 在Rt△PBE中，BH⊥PE，可證得△BHP∽△EHB， ，即，解得， 此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-5）， 過(guò)點(diǎn)P與x軸平行的直線(xiàn)與FB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)N， 則 綜合①，②知點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-3），△PAB的面積為6；或點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-5），△PAB的面積為12。