Question

根據(jù)題意，解答下列問(wèn)題：
（1）如圖1，已知直線y=2x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)；
（2）公式推導(dǎo)：類比（1）的求解過(guò)程，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的兩點(diǎn)，如圖2，請(qǐng)你通過(guò)構(gòu)造直角三角形的方法推導(dǎo)公式P₁P₂=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

；
（3）公式應(yīng)用：已知：如圖3，A（6，1），B（2，4），問(wèn)：是否在x軸、y軸上分別存在P、Q兩點(diǎn)，使得四邊形ABQP的周長(zhǎng)最短？若存在，求出四邊形ABQP的周長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：根據(jù)勾股定理，知道兩邊的坐標(biāo)求出兩邊的長(zhǎng)，繼而可以輕松求出第三邊的長(zhǎng)度．利用x+y≥2

xy

得當(dāng)兩項(xiàng)相等時(shí)相加最小，類推出當(dāng)AP=PQ=BQ時(shí)取得最小值，利用（2）中所得的公式可以求出．

解答：解：（1）∵直線y=2x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0）B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4）
∴AB的長(zhǎng)為

(-2)2+42

=2

5

；

（2）如圖過(guò)P₁、P₂分別作兩軸的平行線，交于點(diǎn)A，
則P₁A=x₂-x₁，P₂A=y₂-y₁
∴P₁P₂=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

；

（3）由（2）中得AB=

(6-2)2+(4-1)2

=5
設(shè)P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，0），（0，y）
則AP=

(x-6)2+12

PQ=

x2+y2

BQ=

22+(y-4)2

周長(zhǎng)為AP+PQ+BQ+AB
要使周長(zhǎng)最小，則AP+PQ+BQ應(yīng)該最小
由公式x²+y²≥2xy，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)滿足
類推得x²+y²+z²≥xy+xz+yz當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時(shí)取等號(hào)
∴當(dāng)AP=PQ=BQ時(shí)取得最小值
計(jì)算得最小值為5+

89

．

點(diǎn)評(píng)：①求邊長(zhǎng)可以有很多種求法，其中利用直角三角形是常用的一種，勾股定理或三角函數(shù)等．
②合理利用不等式的關(guān)系求解．