Question

如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn)A開始向B以2cm/s速度移動(dòng)；點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開始向A以1cm/s的速度移動(dòng)．如果P、Q同時(shí)出發(fā)，用t(s)表示移動(dòng)的時(shí)間(0≤t≤6)，那么：(1)當(dāng)t為何值時(shí)，△QAP為等腰直角三角形？(2)求四邊形QAPC的面積，并提出一個(gè)與計(jì)算結(jié)果有關(guān)的結(jié)論；(3)當(dāng)t為何值時(shí)，以Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？

Answer 1

答案：
解析：

解答：(1)對(duì)于任何時(shí)刻t，AP＝2t，DQ＝t，QA＝6－t，當(dāng)AQ＝AP時(shí)，△QAP為等腰直角三角形，即6－t＝2t，解得t＝2，所以，當(dāng)t＝2s時(shí)，△QAP為等腰直角三角形． 　　(2)在△QAC中，QA＝6－t，QA邊上的高DC＝12，所以S△QAC＝QA·DC＝(6－t)·12＝36－6t．在△APC中，AP＝2t，AP邊上的高BC＝6，所以S△APC＝AP·BC＝·2t·6＝6t，所以S四邊形QAPC＝S△QAC＋S△APC＝36－6t＋6t＝36(cm2)， 　　由計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)： 　　在P、Q兩點(diǎn)移動(dòng)過(guò)程中，四邊形QAPC的面積始終保持不變．(也可提出：P、Q兩點(diǎn)到對(duì)角線AC的距離之和保持不變). 　　(3)根據(jù)題意，可分為兩種情況研究． 　�、佼�(dāng)＝時(shí)，△QAP∽△ABC．那么＝，解得t＝1.2．即當(dāng)t＝1.2s時(shí)，△QAP∽△ABC, 　　②當(dāng)＝時(shí)，△PAQ∽△ABC．那么＝，解得t＝3．即當(dāng)t＝3s時(shí)，△PAQ∽△ABC,所以，當(dāng)t＝1.2s或t＝3s時(shí)，以點(diǎn)Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似． 　　分析：(1)已知∠PAQ＝，若使△QAP為等腰直角三角形，只需滿足AP＝AQ；(2)求四邊形的面積，因形狀不規(guī)則，可采用“割補(bǔ)法”；(3)要考慮的兩個(gè)相似三角形，除了對(duì)應(yīng)的直角外，另外的兩個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系沒(méi)有明確，所以要分兩種情況研究．

提示：

注意：相似三角形作為數(shù)學(xué)的一個(gè)重大分支，是中考的必考內(nèi)容，題型包括選擇、填空、解答，涉及的內(nèi)容廣而全，而以相似三角形為背景的綜合題更是常見的熱點(diǎn)題型．