Question

【題目】如圖所示，拋物線交軸于A、B兩點，交軸于點C，直線經過點A、C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P為直線AC上一點，在平面內是否存在點Q，使得以A、B、P、Q為頂點的四邊形為正方形?若存在，求出點Q的坐標，若不存在，請說明理由；

（3）在軸上存在點M，且，請直接寫出點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，點Q的坐標為或；（3）或．

【解析】

（1）分別求得函數(shù)與兩坐標軸的交點，確定A，C兩點的坐標，然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；

（2）先求得拋物線與x軸交點，確定AB的長，然后分四邊形ABPQ，四邊形APBQ為正方形兩種情況，結合正方形的性質求得Q點坐標；

（3）分點M在點A的右側和點M在點A的左側，根據(jù)題意及等腰三角形的性質求得∠MCO=30°或60°，從而利用三角函數(shù)求解．

解：（1）對于

令，則，解之得：

令，則

∴

把分別代入得

解之得

∴拋物線的解析式為

（2）存在，理由如下

令，解之得：

∴

∴

分為兩種情況：

①當四邊形ABPQ為正方形時，如圖1所示

對于，當時，

∴點P在直線上

∵軸

∴

②當四邊形APBQ為正方形時，如圖2所示

連結PQ，則

∴

∴

對于，當時，

∴點P在直線上

易知點P、Q關于軸對稱

∴

綜上所述，點Q的坐標為或

（3）或

①當點M在點A的右側時，如圖3所示

∵

∴

∴△AOC為等腰直角三角形

∴

∴

∴

在Rt△COM中

∵

∴

∴

②當點M在點A的左側時，如圖4所示

在Rt△COM中

∵

∴

∴

綜上所述，點M的坐標為或．