Question

如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A（1，2），B（-2，n）兩點，過A作AC⊥x軸于C，連接BC．
（1）求上述反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）求△ABC的面積；
（3）若坐標平面中有一點D，使△ABD是等腰直角三角形，請直接寫出所有D點坐標（不用過程）．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用待定系數(shù)法即可求得反比例函數(shù)的解析式，然后把x=-2代入即可求得B的坐標，利用待定系數(shù)法求得一次函數(shù)的解析式；
（2）利用三角形的面積公式即可直接求解；
（3）分AB是斜邊、AB是直角邊A是直角頂點，以及AB是直角邊B是直角頂點，三種情況進行討論，即可求解．
解答：解：（1）把A（1，2）代y=得 m=2，
所以反比例函數(shù)為y=，
當x=-2時，y==-1，則B的坐標是（-2，-1）．
設(shè)一次函數(shù)的解析式是y=kx+b，
則，
解得：，
故一次函數(shù)的解析式是：y=x+1；

（2）作BD⊥AC于E．則AC=2，BE=3，AE=3．
∴S△ABC=AC•BE=×2×3=3；

（3）∵AE=BE，
∴當D是E點時，△ABD是等腰直角三角形，此時AB是斜邊，
當AB是斜邊時，另一個滿足條件的點的坐標是（-2，2）；
當AB是直角邊，B是直角頂點時，設(shè)BD的解析式是y=-x+c，
則-1=2+c，
解得：c=-3，則直線的解析式是y=-x-3．
設(shè)D的坐標是（m，-m-3），
則（m+2）²+（-m-3+1）²=（3）²，
解得：m=-5或1．
則D的坐標是（-5，2）或（1，-4）；
同理，當AB是直角邊，A是直角頂點時D的坐標是：（4，-1）或（-2，5）．
總之，D的坐標是：（1，-1）或（-2，2）或（-5，2）或（1，-4）或（4，-1）或（-2，5）．
點評：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，三角形的面積公式以及兩直線垂直時一次項系數(shù)的關(guān)系，正確分情況討論是關(guān)鍵．