Question

在直角坐標(biāo)系中，點A、B坐標(biāo)分別為：（1，4）、（3，-2），在x軸上找一點P，使x軸平分∠APB．
（1）用圓規(guī)和直尺畫圖，找出P點的位置，保留作圖痕跡；
（2）求點P的坐標(biāo)；
（3）過點P的二次函數(shù)圖象的對稱軸過點A，與x軸的另一交點為Q，與y軸的交點為C，當(dāng)△PQC為直角三角形時，求這個二次函數(shù)的關(guān)系式．

Answer 1

解：（1）作點B關(guān)于x軸的對稱點B′，連接AB′并延長交x軸于點P

（2）設(shè)以直線AB′為圖象的一次函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b（k、b為常數(shù)，且k≠0）
∵點A、B′坐標(biāo)分別為：（1，4）、（3，2）將x、y的值分別代入以上函數(shù)關(guān)系式得，
，
解得，k=-1，b=5即函數(shù)解析式為：y=-x+5，
當(dāng)y=0時，x=5，
∴P點坐標(biāo)為（5，0）；

（3）由題意知，只有∠PCQ=90°，
∵△COQ∽△POC，
∴OC²=QO•PO，
則OC²=3×5=15，OC=，
設(shè)拋物線方程為：y=a（x+3）（x-5），
∴y=a（x²-2x-15），
當(dāng)x=0時，y=OC=，
∴-15a=，
解得，a=±，
∴y=x²-x-或y=-x²+x+．
分析：（1）找出B點關(guān)于x軸的對稱點B′，P是AB′與x軸交點；
（2）先求AP的一次函數(shù)解析式，再求當(dāng)y=0時x的值，即P點坐標(biāo)；
（3）先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和相似求出OC的長度，再根據(jù)P點和與其對稱的點的坐標(biāo)列出函數(shù)解析式，將OC代入求出自變量，即得到解析式．
點評：此題是二次函數(shù)的綜合試題，其中滲透了對稱和直角三角形的性質(zhì)和三角形相似，在找C點時注意有兩種情況，所以函數(shù)解析式也有兩種．